Leia o texto e siga as orientações:
- pense em um número inteiro positivo N , de três algarismos distintos e não nulos;
- com os algarismos de N , forme todos os possíveis números de dois algarismos distintos;
- obtenha a soma (S) de todos esses números de dois algarismos;
- obtenha a soma ® dos três algarismos do número N;
- finalmente, divida
por
.
O quociente da divisão de
por
é igual a
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede isto:
- Pensar em um número inteiro positivo
de três algarismos distintos e não nulos (ou seja, os algarismos são diferentes entre si e nenhum é zero). - Com os algarismos de
, formar todos os possíveis números de dois algarismos distintos. - Calcular a soma
de todos esses números de dois algarismos. - Calcular a soma
dos três algarismos do número . - Finalmente, dividir
por e escolher qual das alternativas corresponde ao quociente.
Informações relevantes do enunciado que vou usar: os três algarismos são distintos e não nulos; todos os números de dois algarismos são formados sem repetir o mesmo algarismo na mesma posição (ou seja, escolhe-se uma ordem de dois dos três algarismos).
Passo 2
Escolho representar os três algarismos por variáveis para trabalhar de forma geral e sem depender de um número específico. Defino:
-
, e como os três algarismos de . Cada um é um inteiro de a e todos são distintos. - A soma dos três algarismos é
, ou seja
A ideia é somar todos os números de dois algarismos que se podem formar com
e expressar essa soma em função de
(ou melhor, em função de
). Essa abordagem evita tentar casos concretos e mostra que o resultado é independente da escolha dos dígitos, desde que sejam distintos e não nulos.
Passo 3
Listo explicitamente todos os números de dois algarismos possíveis usando
sem repetição de dígito na mesma posição. São as permutações de 2 elementos entre 3, ou seja 6 números:
A soma
desses seis números é:
Passo 4
Agora eu agrupo os termos por contribuição das dezenas e das unidades para simplificar. Juntando os termos com coeficiente
(as dezenas) e os termos sem coeficiente
(as unidades), tenho:
- Contribuição das dezenas:
- Contribuição das unidades:
Portanto
Passo 5
Factorizando
e usando
, fica
Como
, obtemos
Logo o quociente pedido é
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo concreto para sentir que bate: se
temos os números
. A soma é
. A soma dos algarismos é
. E
, confirma a fórmula geral. Então o resultado não depende dos valores específicos dos dígitos, apenas de serem distintos e não nulos.
Resposta
b)