Leia o texto e siga as orientações:
  • pense em um número inteiro positivo N , de três algarismos distintos e não nulos;
  • com os algarismos de N , forme todos os possíveis números de dois algarismos distintos;
  • obtenha a soma (S) de todos esses números de dois algarismos;
  • obtenha a soma ® dos três algarismos do número N;
  • finalmente, divida S por R.
O quociente da divisão de S por R é igual a
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede isto:
  • Pensar em um número inteiro positivo N de três algarismos distintos e não nulos (ou seja, os algarismos são diferentes entre si e nenhum é zero).
  • Com os algarismos de N, formar todos os possíveis números de dois algarismos distintos.
  • Calcular a soma S de todos esses números de dois algarismos.
  • Calcular a soma R dos três algarismos do número N.
  • Finalmente, dividir S por R e escolher qual das alternativas corresponde ao quociente.
Informações relevantes do enunciado que vou usar: os três algarismos são distintos e não nulos; todos os números de dois algarismos são formados sem repetir o mesmo algarismo na mesma posição (ou seja, escolhe-se uma ordem de dois dos três algarismos).

Passo 2

Escolho representar os três algarismos por variáveis para trabalhar de forma geral e sem depender de um número específico. Defino:
  • a, b e c como os três algarismos de N. Cada um é um inteiro de 1 a 9 e todos são distintos.
  • A soma dos três algarismos é R, ou seja R = a+b+c.
A ideia é somar todos os números de dois algarismos que se podem formar com a,b,c e expressar essa soma em função de a,b,c (ou melhor, em função de R). Essa abordagem evita tentar casos concretos e mostra que o resultado é independente da escolha dos dígitos, desde que sejam distintos e não nulos.

Passo 3

Listo explicitamente todos os números de dois algarismos possíveis usando a,b,c sem repetição de dígito na mesma posição. São as permutações de 2 elementos entre 3, ou seja 6 números:
10a+b,\;10a+c,\;10b+a,\;10b+c,\;10c+a,\;10c+b.
A soma S desses seis números é:
S = (10a+b) + (10a+c) + (10b+a) + (10b+c) + (10c+a) + (10c+b).

Passo 4

Agora eu agrupo os termos por contribuição das dezenas e das unidades para simplificar. Juntando os termos com coeficiente 10 (as dezenas) e os termos sem coeficiente 10 (as unidades), tenho:
  • Contribuição das dezenas: 10a + 10a + 10b + 10b + 10c + 10c = 10\cdot(2a+2b+2c).
  • Contribuição das unidades: b + c + a + c + a + b = 2a+2b+2c.
Portanto
S = 10\cdot(2a+2b+2c) + (2a+2b+2c).

Passo 5

Factorizando 2a+2b+2c e usando R=a+b+c, fica
S = (10+1)\cdot(2a+2b+2c) = 11\cdot 2(a+b+c) = 22(a+b+c).
Como R = a+b+c, obtemos
S = 22R.
Logo o quociente pedido é
\frac{S}{R} = \frac{22R}{R} = 22.

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo concreto para sentir que bate: se a=1,b=2,c=3 temos os números 12,13,21,23,31,32. A soma é 12+13+21+23+31+32=132. A soma dos algarismos é 1+2+3=6. E 132/6=22, confirma a fórmula geral. Então o resultado não depende dos valores específicos dos dígitos, apenas de serem distintos e não nulos.

Resposta

b) 22

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