Considere as respostas ao impulso de sistemas LIT abaixo, determine se cada um dos sistemas é causal e estável. Justifique suas respostas.
h[n]=(-12)^n+(1.01)^n u[n-1]

Passo 1

O enunciado nos dá a resposta ao impulso de um sistema LTI
h[n]=l(-tfrac12r)^n ;+;(1.01)^n,u[n-1]
e pede para determinar se o sistema é causal e se é BIBO estável.
Para isso vamos usar as definições:
– Causalidade: o sistema é causal se e somente se
h[n]=0forall,n<0
– Estabilidade BIBO: o sistema é estável se
sumn=-infty^inftyl|h[n]r|<infty

Passo 2

Verificando causalidade:
A primeira parcela l(-tfrac12r)^n está definida para todos os n e é diferente de zero mesmo quando n<0. Por exemplo, para n=-1 temos
l(-tfrac12r)^-1=(-2)neq0
Logo h[n]neq0 em índices negativos, o que viola a condição de causalidade. Portanto o sistema não é causal.

Passo 3

Verificando estabilidade:
Basta mostrar que a soma das magnitudes diverge.
  1. Para n<0, com n=-k e k>0,
sumn=-infty^-1l|l(-tfrac12r)^nr| =sumk=1^infty2^k =infty
  1. Para n>=1, a segunda parcela gera
sumn=1^inftyl|(1.01)^nr| =sumn=1^infty(1.01)^n =infty
Em qualquer um dos casos a soma diverge, logo
sumn=-infty^infty|h[n]|=infty e o sistema não é estável.

Resposta

O sistema não é causal e não é BIBO estável.

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