Considere as respostas ao impulso de sistemas LIT abaixo, determine se cada um dos sistemas é causal e estável. Justifique suas respostas.
h(t)=e^-2 t u(t+50)

Passo 1

O enunciado nos dá a resposta ao impulso
h(t) = e^-2t,u(t+50)
e pede para verificar duas propriedades de sistemas LIT: causalidade e estabilidade BIBO.
Para isso vamos usar:
1. Um sistema é causal se e somente se h(t)=0 para todo t<0.
2. Um sistema LIT é estável segundo BIBO se
integral-infty^infty l|h(t)r|,dt < infty

Passo 2

Verificando a causalidade:
O termo u(t+50) vale 1 sempre que t+50>=0, isto é, para t>=-50, e vale 0 para t< -50. Logo
h(t)=0para t< -50,
mas para -50 <= t <0 temos h(t)=e^-2tneq0. Como existem instantes negativos em que h(t)neq0, o sistema responde antes da aplicação do impulso em t=0. Portanto o sistema não é causal.

Passo 3

Verificando a estabilidade BIBO:
Precisamos checar se
integral-infty^infty l|h(t)r|,dt =integral-infty^infty e^-2t,u(t+50),dt
é finito. Como u(t+50) anula a integranda para t< -50, o integral vira
integral-50^infty e^-2t,dt
Calculando:
integral-50^infty e^-2t,dt =[-tfrac12e^-2t]t=-50^ttoinfty =0 -l(-tfrac12e^100r) =tfrac12e^100,
que é um número finito (embora muito grande). Logo o sistema é estável.

Resposta

O sistema com h(t)=e^-2t,u(t+50) é não causal e estável.

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