Considere as respostas ao impulso de sistemas LIT abaixo, determine se cada um dos sistemas é causal e estável. Justifique suas respostas.
h(t)=t e^-t u(t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema LIT com resposta ao impulso
h(t)=t,e^-t,u(t)
é causal e se é BIBO estável. Para isso vamos usar dois conceitos fundamentais:
  1. Causalidade: um sistema LIT é causal se e somente se h(t)=0 para todo t<0.
  2. Estabilidade BIBO: um sistema LIT é estável se e somente se
integral-infty^inftyl|h(t)r|,dt<infty

Passo 2

Verificação de causalidade.
Como temos o fator u(t), que é a função degrau de Heaviside, temos
h(t)=0para todo t<0
Isso significa que o sistema não “responde” antes da aplicação do impulso, ou seja, é não–antecipativo. Logo, o sistema é causal.

Passo 3

Verificação de estabilidade BIBO.
Precisamos avaliar
integral-infty^inftyl|h(t)r|,dt =integral0^inftyt,e^-t,dt
Esse é um integral tipicamente conhecido:
integral0^inftyt^n e^-t,dt = n! para inteiro n>=0
Aqui n=1, então
integral0^inftyt,e^-t,dt = 1! = 1 < infty
Como a integral converge, o sistema é BIBO estável.

Resposta

O sistema com resposta ao impulso h(t)=t,e^-t,u(t) é causal e estável.

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