Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Se forem, prove que são e se não forem, justifique por que.
a) f: R^2 R^2
(x, y) (x+y, x-y)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para determinar se uma função específica é uma transformação linear. O conteúdo aqui é de álgebra linear, e pra resolver isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e aplicar esses conceitos à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adicionamento: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos aplicar isso à função dada:

Passo 3

Vamos verificar a propriedade de adição. Se pegarmos dois vetores f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) e f(u) + f(v) = (x1 + y1, x1 - y1) + (x2 + y2, x2 - y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2) , então:
Calculando o lado direito:
Observamos que .

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Para um escalar f(cu) = f(cx, cy) = (cx + cy, cx - cy) = c(x + y, x - y) = c f(u) e vetor :
Então, .

Resposta

Como a função satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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