Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Se forem, prove que são e se não forem, justifique por que.
a)
a)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para determinar se uma função específica é uma transformação linear. O conteúdo aqui é de álgebra linear, e pra resolver isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e aplicar esses conceitos à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adicionamento:
para quaisquer vetores . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos aplicar isso à função dada:
Passo 3
Vamos verificar a propriedade de adição. Se pegarmos dois vetores
e
, então:
Calculando o lado direito:
Observamos que
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Para um escalar
e vetor
:
Então,
.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de homogeneidade, ela é uma transformação linear.