Seja
tal que
. Ache os vetores
tais que:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os vetores
e
em
que, quando aplicamos a transformação linear
neles, o resultado é o próprio vetor. Ou seja, queremos que
e
. Isso envolve conceitos de matrizes e autovetores na álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformação linear
é representada pela matriz:
Queremos encontrar um vetor
tal que
. Isso significa que:
Passo 3
Vamos multiplicar a matriz
pelo vetor
:
[
]
E queremos que esse resultado seja igual a
:
Passo 4
Isso nos dá um sistema de equações:
A segunda equação
é sempre verdadeira e não nos dá nova informação. Focamos na primeira equação:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Então, qualquer vetor
que satisfaça
vai funcionar. Podemos escrever o vetor
da seguinte forma:
Onde
é qualquer número real.
Resposta
Os vetores
e
que satisfazem
são múltiplos do vetor
. Ou seja,
onde
e
são números reais quaisquer.