Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[cc-1 & -2 0 & 1]. Ache os vetores u e v tais que:
a) T(u)=u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os vetores e em que, quando aplicamos a transformação linear neles, o resultado é o próprio vetor. Ou seja, queremos que e . Isso envolve conceitos de matrizes e autovetores na álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformação linear [T] = -1 & -2 0 & 1 é representada pela matriz:
x y
Queremos encontrar um vetor [T] cdot u = u tal que . Isso significa que:

Passo 3

Vamos multiplicar a matriz -1 & -2 0 & 1 x y = -1 cdot x + (-2) cdot y 0 cdot x + 1 cdot y = - x - 2y y pelo vetor - x - 2y y = x y :

[


]
E queremos que esse resultado seja igual a :

Passo 4

Isso nos dá um sistema de equações:
- x - 2y = x y = y
A segunda equação - x - 2y = x é sempre verdadeira e não nos dá nova informação. Focamos na primeira equação:

Passo 5

Vamos resolver a equação:
- x - 2y = x Rightarrow -2y = 2x Rightarrow y = -x
Então, qualquer vetor u = x -x = x 1 -1 que satisfaça vai funcionar. Podemos escrever o vetor da seguinte forma:
Onde é qualquer número real.

Resposta

Os vetores 1 -1 e u = k 1 -1 , v = m 1 -1 que satisfazem são múltiplos do vetor . Ou seja,
onde e são números reais quaisquer.

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