Verifique se os vetores dados são L.I. ou L.D.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os vetores dados são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem independentes ou dependentes e aplicar alguns testes básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são vetores linearmente independentes e dependentes. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, não existe um múltiplo escalar que, ao ser aplicado a um vetor, resulte no outro vetor. Já linearmente dependentes são aqueles onde pelo menos um vetor pode ser expresso como combinação linear dos demais.
Passo 3
Agora, vamos analisar os vetores fornecidos:
Para verificar a independência, vamos ver se existe um escalar
tal que:
Passo 4
Vamos tentar encontrar esse escalar
. Se conseguirmos um valor consistente para todos os componentes, os vetores seriam dependentes. Caso contrário, são independentes.
Então, igualamos as componentes correspondentes:
Passo 5
Resolvendo as equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
isso não faz sentido, já que
Aqui, percebemos que não existe um único valor de
que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Isso significa que não podemos expressar
como um múltiplo de
.
Passo 6
Como não existe um escalar
que vincule
a
de forma consistente em todas as componentes, concluímos que os vetores não são múltiplos um do outro. Portanto, eles não são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente independentes (L.I.).