Considere a reta
r: x-17=2-y2=2 z+10
O plano que é ortogonal a r e passa pelo ponto A=(9,1,2) é:
e) pi: 7 x+2 y+z2=62

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que é ortogonal a uma reta dada e que passa por um ponto específico, o ponto . Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre equações de retas e planos no espaço tridimensional, além de entender o que significa um plano ser ortogonal a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r: x-17=2-y2=2 z+10 que foi dada:
x-17 = 2-y2 = 2z + 10 = lambda
Essa é a forma simétrica da equação da reta. Para facilitar, vamos colocar ela numa forma mais amigável, chamada forma paramétrica. Vamos chamar a expressão comum de x = 7lambda + 1 y = 2 - 2lambda z = lambda - 102 :
Assim, podemos expressar , e em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos identificar o vetor diretor da reta Vetor diretor d = (7, -2, 12) . Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando no espaço. Observando as expressões paramétricas:
Esse vetor será importante porque, como o plano é ortogonal à reta, ele será o vetor normal ao plano.

Passo 4

A equação geral de um plano no espaço é dada por:
a x + b y + c z = d
onde é o vetor normal ao plano. No nosso caso, esse vetor é igual ao vetor diretor da reta , ou seja, .

Passo 5

Sabendo que o plano passa pelo ponto 7(9) + (-2)(1) + 12(2) = d 63 - 2 + 1 = d d = 62 , substituímos as coordenadas desse ponto na equação do plano:

Resposta

A equação do plano é:
pi: 7 x + (-2) y + 12 z = 62
Ou simplificando os sinais:
pi: 7 x + 2 y + z2 = 62

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