Considere a reta
O plano que é ortogonal a
e passa pelo ponto
é:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que é ortogonal a uma reta dada e que passa por um ponto específico, o ponto
. Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre equações de retas e planos no espaço tridimensional, além de entender o que significa um plano ser ortogonal a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta
que foi dada:
Essa é a forma simétrica da equação da reta. Para facilitar, vamos colocar ela numa forma mais amigável, chamada forma paramétrica. Vamos chamar a expressão comum de
:
Assim, podemos expressar
,
e
em termos de
:
Passo 3
Agora, precisamos identificar o vetor diretor da reta
. Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando no espaço. Observando as expressões paramétricas:
Esse vetor será importante porque, como o plano é ortogonal à reta, ele será o vetor normal ao plano.
Passo 4
A equação geral de um plano no espaço é dada por:
onde
é o vetor normal ao plano. No nosso caso, esse vetor é igual ao vetor diretor da reta
, ou seja,
.
Passo 5
Sabendo que o plano passa pelo ponto
, substituímos as coordenadas desse ponto na equação do plano:
Resposta
A equação do plano é:
Ou simplificando os sinais: