Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos e .
(b) Verifique se a reta que passa pelo ponto com vetor diretor está contida nesse plano.
Resposta: A reta em questão esta contida no plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
a) Precisamos encontrar a equação geral do plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve geometria analítica, especificamente o cálculo de planos no espaço tridimensional.
b) Depois, vamos verificar se uma reta específica está dentro desse plano. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de reta e plano.
Vamos lá!
Passo 2
Parte a: Encontrando a equação geral do plano
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação de um plano que passa por três pontos. Para isso, precisamos seguir alguns passos:
Encontrar dois vetores no plano: Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados.
Calcular o vetor normal ao plano: Isso é feito através do produto vetorial dos dois vetores que encontramos.
Usar o vetor normal e um dos pontos para escrever a equação do plano: A equação geral do plano é dada por , onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Passo 3
1. Encontrando os vetores no plano
Vamos escolher o ponto como referência e encontrar os vetores e :
Passo 4
2. Calculando o vetor normal ao plano
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal :
Vamos calcular:
n = i(0) - j(0) + k(0 +1) = (0, 0, 1)
Então, o vetor normal é .
Passo 5
3. Escrevendo a equação do plano
Agora que temos o vetor normal 0(x - 2) + 0(y - 1) + 1(z - 0) = 0 e um ponto no plano, vamos usar o ponto z = 0 para escrever a equação geral do plano:
Simplificando:
Então, a equação geral do plano é .
Passo 6
Parte b: Verificando se a reta está contida no plano
Agora, vamos verificar se a reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor está contida no plano .
Para uma reta estar contida em um plano, todos os pontos da reta devem satisfazer a equação do plano.
Passo 7
1. Escrevendo a equação paramétrica da reta
A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
x = 3 + t cdot 1 y = 3 + t cdot 1 z = 0 + t cdot 0
Ou seja:
x = 3 + t
y = 3 + t
z = 0
Passo 8
2. Verificando a condição no plano
Para qualquer valor de , o valor de na reta é sempre 0. Como o plano é definido por , todos os pontos da reta satisfazem essa condição.
Passo 9
Conclusão
Como todos os pontos da reta têm , que é exatamente a equação do plano, a reta está contida no plano.