Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(2,1,0), B=(1,2,0) e C=(1,1,0).
(b) Verifique se a reta que passa pelo ponto E=(3,3,0) com vetor diretor v=(1,1,0) está contida nesse plano.
Resposta: A reta em questão esta contida no plano

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
a) Precisamos encontrar a equação geral do plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve geometria analítica, especificamente o cálculo de planos no espaço tridimensional.
b) Depois, vamos verificar se uma reta específica está dentro desse plano. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de reta e plano.
Vamos lá!

Passo 2

Parte a: Encontrando a equação geral do plano
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação de um plano que passa por três pontos. Para isso, precisamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar dois vetores no plano: Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados.
  2. Calcular o vetor normal ao plano: Isso é feito através do produto vetorial dos dois vetores que encontramos.
  3. Usar o vetor normal e um dos pontos para escrever a equação do plano: A equação geral do plano é dada por , onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.

Passo 3

1. Encontrando os vetores no plano
Vamos escolher o ponto AB = B - A = (1-2, 2-1, 0-0) = (-1, 1, 0) como referência e encontrar os vetores AC = C - A = (1-2, 1-1, 0-0) = (-1, 0, 0) e :

Passo 4

2. Calculando o vetor normal ao plano
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal n = AB times AC :
n = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0
Vamos calcular:
n = i(1 cdot 0 - 0 cdot 0) - j(-1 cdot 0 - (-1) cdot 0) + k(-1 cdot 0 - 1 cdot (-1))
n = i(0) - j(0) + k(0 +1) = (0, 0, 1)
Então, o vetor normal é .

Passo 5

3. Escrevendo a equação do plano
Agora que temos o vetor normal 0(x - 2) + 0(y - 1) + 1(z - 0) = 0 e um ponto no plano, vamos usar o ponto z = 0 para escrever a equação geral do plano:
Simplificando:
Então, a equação geral do plano é .

Passo 6

Parte b: Verificando se a reta está contida no plano
Agora, vamos verificar se a reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor está contida no plano .
Para uma reta estar contida em um plano, todos os pontos da reta devem satisfazer a equação do plano.

Passo 7

1. Escrevendo a equação paramétrica da reta
A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
x = 3 + t cdot 1 y = 3 + t cdot 1 z = 0 + t cdot 0
Ou seja:
x = 3 + t
y = 3 + t
z = 0

Passo 8

2. Verificando a condição no plano
Para qualquer valor de , o valor de na reta é sempre 0. Como o plano é definido por , todos os pontos da reta satisfazem essa condição.

Passo 9

Conclusão
Como todos os pontos da reta têm , que é exatamente a equação do plano, a reta está contida no plano.

Resposta

A reta em questão está contida no plano.

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