Considere a reta r de equação paramétrica (x, y, z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2) e o ponto A=(7,4,5).
Determine a equação do plano que contém r e A.

Passo 1

O enunciado dá a reta r de equação paramétrica
(x,y,z)=(-7,4,9)+t,(-2,1,2)
e o ponto A=(7,4,5). Queremos a equação do plano que contém r e A. Para isso precisamos de um vetor diretor de r, de um vetor que ligue um ponto de r a A, e então usar o produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Escolhemos o ponto !P0=(-7,4,9) em r e o vetor diretor de r,
v = (-2,1,2)

Passo 3

Calculamos o vetor que vai de P0 até A:
w = P0A = A - P0 = (7 - (-7),;4 - 4,;5 - 9) = (14,0,-4)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é dado por n = v times w. Calculando:
n = i & j & k -2 & 1 & 2 14 & 0 & -4 = l(1cdot(-4)-2cdot0,;-l((-2)cdot(-4)-2cdot14r),;(-2)cdot0-1cdot14r) = (-4,,20,,-14)
Podemos simplificar n dividindo por -2, por exemplo, obtendo
n = (2,-10,7)

Passo 5

A equação do plano com normal n=(2,-10,7) que passa por P0=(-7,4,9) é
2,(x+7);-;10,(y-4);+;7,(z-9);=;0
Desenvolvendo:
2x+14-10y+40+7z-63=0 Longrightarrow 2x-10y+7z-9=0

Resposta

A equação do plano é
2x - 10y + 7z - 9 = 0

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