Considere a reta de equação paramétrica e o ponto .
Determine a reta perpendicular a e que passa por .
Passo 1
O enunciado dá a reta em forma paramétrica
e o ponto . Queremos a reta que passe por e seja perpendicular a .
Para isso vamos achar o ponto de tal que seja ortogonal ao vetor diretor v=(-2,1,2) de r.
Passo 2
Parametrosemos B em r como
B = P0 + t0, v,
onde P0=(-7,4,9). A condição de perpendicularidade é
ABcdot v=0
com AB=B-A=(P0 - A)+t0, v.
Passo 3
Calculemos
P0 - A = (-7,4,9)-(7,4,5)=(-14,0,4),
(P0 - A)cdot v = (-14,0,4)cdot(-2,1,2)=28+0+8=36,
vcdot v = (-2)^2+1^2+2^2=9
A condição (P0 - A)cdot v + t0( vcdot v)=0 vira
36 + 9,t0 = 0 Longrightarrow t0 = -4
Passo 4
O ponto de projeção é
B = (-7,4,9) + (-4),(-2,1,2) = (1,0,1)
Então um vetor diretor de s é
AB = B - A = (1,0,1)-(7,4,5)=(-6,-4,-4),
que podemos simplificar para (-3,-2,-2) ou seu oposto (3,2,2).
Passo 5
A reta s que passa por A e tem direção (3,2,2) tem equação paramétrica