Considere a reta r de equação paramétrica (x, y, z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2) e o ponto A=(7,4,5).
Determine a reta perpendicular a r e que passa por A.

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma paramétrica
r:;(x,y,z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2)
e o ponto A=(7,4,5). Queremos a reta s que passe por A e seja perpendicular a r.
Para isso vamos achar o ponto B de r tal que AB seja ortogonal ao vetor diretor v=(-2,1,2) de r.

Passo 2

Parametrosemos B em r como
B = P0 + t0, v,
onde P0=(-7,4,9). A condição de perpendicularidade é
ABcdot v=0
com AB=B-A=(P0 - A)+t0, v.

Passo 3

Calculemos
P0 - A = (-7,4,9)-(7,4,5)=(-14,0,4),
(P0 - A)cdot v = (-14,0,4)cdot(-2,1,2)=28+0+8=36,
vcdot v = (-2)^2+1^2+2^2=9
A condição (P0 - A)cdot v + t0( vcdot v)=0 vira
36 + 9,t0 = 0 Longrightarrow t0 = -4

Passo 4

O ponto de projeção é
B = (-7,4,9) + (-4),(-2,1,2) = (1,0,1)
Então um vetor diretor de s é
AB = B - A = (1,0,1)-(7,4,5)=(-6,-4,-4),
que podemos simplificar para (-3,-2,-2) ou seu oposto (3,2,2).

Passo 5

A reta s que passa por A e tem direção (3,2,2) tem equação paramétrica
s:;(x,y,z)=(7,4,5)+lambda,(3,2,2)

Resposta

A reta perpendicular a r e passando por A é
(x,y,z)=(7,4,5)+lambda,(3,2,2)

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