Considere a reta com equação \vec{r}(t)=(-1,3,2)+t\langle-1,0,1\rangle e a reta interseção dos planos x-z=1 e y+2 z=3. Determine se essas retas são paralelas, concorrentes ou reversas.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta \ell_1 com equação vetorial
Extraímos os vetores diretores: \vec v_1=\langle -1,\,0,\,1\rangle para \ell_1 e \vec v_2=\langle 1,\,-2,\,1\rangle para \ell_2.
Se fossem paralelas, haveria \lambda tal que \vec v_2=\lambda\vec v_1. Mas da segunda componente -2=\lambda\cdot0 isso é impossível. Portanto não são paralelas.
\begin{cases} -1 - t = 1 + s,\\\\ 3 = 3 - 2s,\\\\ 2 + t = s. \end{cases}
Da segunda equação segue s=0. Substituindo em -1 - t = 1 + s obtemos t=-2. Por fim 2 + (-2)=0 confirma s=0. Há, portanto, solução (t,s)=(-2,0), logo existe ponto em comum.
Passo 5
Não são paralelas e têm ponto de interseção, logo são concorrentes.