Considere a reta com equação \vec{r}(t)=(-1,3,2)+t\langle-1,0,1\rangle e a reta interseção dos planos x-z=1 e y+2 z=3. Determine se essas retas são paralelas, concorrentes ou reversas.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta \ell_1 com equação vetorial
\vec r_1(t)=(-1,\,3,\,2)+t\langle -1,\,0,\,1\rangle
e a reta \ell_2 definida como interseção dos planos
x - z = 1 \quad\text{e}\quad y + 2z = 3.
Queremos saber se \ell_1 e \ell_2 são paralelas, concorrentes (intersectam) ou reversas (skew).

Passo 2

Para parametrizar \ell_2, tomamos z=s. Da equação x - z = 1 vem
x = 1 + s,
e de y + 2z = 3 vem
y = 3 - 2s.
Logo
\vec r_2(s) = (1,\,3,\,0) + s\langle 1,\,-2,\,1\rangle.

Passo 3

Extraímos os vetores diretores: \vec v_1=\langle -1,\,0,\,1\rangle para \ell_1 e \vec v_2=\langle 1,\,-2,\,1\rangle para \ell_2.
Se fossem paralelas, haveria \lambda tal que \vec v_2=\lambda\vec v_1. Mas da segunda componente -2=\lambda\cdot0 isso é impossível. Portanto não são paralelas.

Passo 4

Para ver se se intersectam, igualamos
(-1,\,3,\,2)+t\langle -1,\,0,\,1\rangle = (1,\,3,\,0)+s\langle 1,\,-2,\,1\rangle
o que gera o sistema
\begin{cases} -1 - t = 1 + s,\\\\ 3 = 3 - 2s,\\\\ 2 + t = s. \end{cases}
Da segunda equação segue s=0. Substituindo em -1 - t = 1 + s obtemos t=-2. Por fim 2 + (-2)=0 confirma s=0. Há, portanto, solução (t,s)=(-2,0), logo existe ponto em comum.

Passo 5

Não são paralelas e têm ponto de interseção, logo são concorrentes.

Resposta

As retas são concorrentes.

Exercícios relacionados