Considere a reta L_{1} determinada por (0,0,1)+t\langle-1,1,-2\rangle, t \in \mathbb{R}. Explicite uma equação de uma reta L_{2} com direção ortogonal à de L_{1} tal que L_{1} e L_{2} são reversas. Determine a distância entre as retas L_{1} e L_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a reta L_{1} com ponto A=(0,0,1) e vetor diretor \mathbf v =\langle -1,1,-2\rangle, e pede uma reta L_{2} cujo vetor diretor seja ortogonal a \mathbf v e que seja reversa a L_{1} (ou seja, retas que não se intersectam nem são paralelas), além de calcular a distância entre elas. Para isso vamos escolher um vetor \mathbf u ortogonal a \mathbf v, um ponto B fora de L_{1} para definir L_{2}, e usar a fórmula de distância entre retas reversas em \mathbb R^{3} baseada no produto vetorial.

Passo 2

Para achar um vetor \mathbf u ortogonal a \mathbf v resolvemos a condição \mathbf v\cdot\mathbf u=0. Tomando \mathbf u = \langle 1,1,0\rangle temos
\mathbf v\cdot\mathbf u =(-1)\cdot 1 +1\cdot 1 +(-2)\cdot 0 =0,
logo \mathbf u\perp\mathbf v.

Passo 3

Escolhemos um ponto B que não pertença a L_{1}, por exemplo B=(0,0,0), pois não existe t tal que
(0,0,1) + t(-1,1,-2) = (0,0,0).
Assim a equação paramétrica de L_{2} é
L_{2}:\; (x,y,z) = (0,0,0) + s\,(1,1,0),\quad s\in\mathbb R.

Passo 4

A distância entre duas retas reversas L_{1}:\,A + t\,\mathbf v e L_{2}:\,B + s\,\mathbf u em \mathbb R^{3} é dada por
d = \frac{\bigl|\,(B - A)\cdot (\mathbf v \times \mathbf u)\bigr|}{\|\mathbf v \times \mathbf u\|}.

Passo 5

Calculamos o produto vetorial
\mathbf v \times \mathbf u = \langle -1,1,-2\rangle \times \langle 1,1,0\rangle = \langle 2,-2,-2\rangle,
de modo que \|\mathbf v \times \mathbf u\| = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt3. Além disso
B-A = (0,0,0)-(0,0,1) = (0,0,-1) \quad\text{e}\quad (B - A)\cdot(\mathbf v \times \mathbf u) = (0,0,-1)\cdot (2,-2,-2) = 2.
Portanto
d = \frac{2}{2\sqrt3} = \frac1{\sqrt3}.

Resposta

A reta L_{2} pode ser definida por
L_{2}:\; (x,y,z) = (0,0,0) + s\,(1,1,0),\quad s\in\mathbb R,
e a distância entre L_{1} e L_{2} é
d = \frac1{\sqrt3}.

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