Dados dois pontos distintos
e
e uma reta
, construa um plano que passa por
e é equidistante de
e
. Discuta.
Passo 1
Temos dois pontos distintos A e B e uma reta r, e queremos construir um plano P que passe por r e tal que a distância de A a P seja igual à distância de B a P. O conteúdo envolvido é distância de ponto a plano e equações de plano.
Passo 2
Para caracterizar P, escolhemos um ponto X₀ em r e um vetor normal unitário n. A equação de P é n·(X−X₀)=0. Então as distâncias são d(A,P)=|n·(A−X₀)| e d(B,P)=|n·(B−X₀)|. Impor d(A,P)=d(B,P) dá
Quadrando, obtemos
[(n\cdot(A-X_0))2=(n\cdot(B-X_0))2\quad\Longrightarrow\quad n\cdot(A-B)=0\quadou\quad n\cdot\bigl(A+B-2X_0\bigr)=0.
Passo 3
A primeira condição n·(A−B)=0 significa que n é perpendicular a AB, logo o plano P é perpendicular ao segmento AB. Mas P também deve conter r, portanto P⊥AB só pode existir se AB⊥r. Nesse caso há infinitos planos: basta escolher qualquer direção v⊥AB diferente de r, gerar P como plano contendo r e v, e terá d(A,P)=d(B,P).
Passo 4
A segunda condição n·(A+B−2X₀)=0 implica que o vetor M−X₀ está contido em P, onde M é o ponto médio de AB definido por M=(A+B)/2. Assim M∈P. Logo P é o plano único que passa por r e por M.
Passo 5
Concluindo: se AB não for perpendicular a r, há exatamente um plano solução, que é o plano determinado por r e pelo ponto médio M de AB; se AB for perpendicular a r, então existem infinitos planos solução, pois qualquer plano que contenha r e seja perpendicular a AB satisfaz d(A,P)=d(B,P).
Resposta
Se r ⟂ AB então existem infinitos planos solução: qualquer plano que contenha r e seja perpendicular a AB. Caso contrário há exatamente um plano: o que passa por r e pelo ponto médio M de AB.