Considere a reta r: X=(-3,6,0)+\lambda(5,-1,4) e o ponto C=(2,1,-5), determine:
a) as equações do plano \pi determinado pela reta r e o ponto C;
b) a posição dos pontos P(3,-5,2) e Q\left(\frac{6}{5}, 1,-6\right) em relação ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: X = (-3,6,0) + \lambda\,(5,-1,4)
e o ponto C = (2,1,-5).
Queremos (a) o plano \pi que contém r e C, e (b) verificar onde ficam os pontos
P = (3,-5,2) \quad\text{e}\quad Q = \Bigl(\tfrac{6}{5},1,-6\Bigr)
em relação a \pi.

Passo 2

Escolhemos um ponto A da reta r e seu vetor diretor \mathbf v:
A = (-3,6,0), \quad \mathbf v = (5,-1,4).
O vetor que liga A a C é
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-(-3),\,1-6,\,-5-0) = (5,-5,-5).

Passo 3

O normal \mathbf n ao plano é dado por
\mathbf n = \mathbf v \times \overrightarrow{AC}.
Calculando o produto vetorial:
\mathbf n = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 5 & -1 & 4\\\\ 5 & -5 & -5 \end{vmatrix} = \bigl(25,\,45,\,-20\bigr) = 5\,(5,9,-4).
Podemos usar o vetor unitário \mathbf n=(5,9,-4) como normal do plano.

Passo 4

A equação geral do plano com normal \mathbf n=(5,9,-4) passando por A=(-3,6,0) é
5\,(x+3) \;+\; 9\,(y-6)\;-\;4\,(z-0) \;=\; 0.
Expandindo e rearranjando:
5x + 15 + 9y - 54 -4z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5x + 9y -4z -39 = 0.

Passo 5

Para o ponto P=(3,-5,2) verificamos
5x + 9y -4z -39 \bigl|_{P} = 5\cdot3 + 9\cdot(-5) -4\cdot2 -39 = 15 -45 -8 -39 = -77 \neq 0.
Como o valor é diferente de zero, P não pertence ao plano \pi.

Passo 6

Para o ponto Q=\bigl(\tfrac{6}{5},1,-6\bigr) calculamos
5x + 9y -4z -39 \bigl|_{Q} = 5\cdot\tfrac{6}{5} + 9\cdot1 -4\cdot(-6) -39 = 6 +9 +24 -39 = 0.
Logo Q satisfaz a equação do plano e fica em \pi.

Resposta

(a) Uma equação do plano \pi é
5x + 9y -4z -39 = 0.
(b) O ponto P não pertence a \pi, e o ponto Q pertence a \pi.

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