Considere as retas r: X=(1,-5,-2)+\lambda(0,2,4) e s: \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{1} e o plano \pi: 2 x-y+2 z-3=0 . Determine a área do triângulo formado pelos pontos R, S e P, sendo R e S os pontos de interseção, respectivamente, de r e s com o plano \pi e P=(1,-1,6).

Passo 1

O enunciado dá as retas
r: X=(1,-5,-2)+\lambda(0,2,4)
e
s:\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{1}\,,
o plano
\pi:2x-y+2z-3=0
e o ponto
P=(1,-1,6).
Queremos a área do triângulo cujos vértices são
R = r\cap\pi, \quad S = s\cap\pi, \quad P.
O conteúdo usado será: interseção de reta com plano e área de triângulo no espaço via produto vetorial.

Passo 2

Encontrar R na reta r impondo a condição do plano. Em r temos
x=1,\quad y=-5+2\lambda,\quad z=-2+4\lambda.
Substituindo em 2x-y+2z-3=0:
2\cdot1 -(-5+2\lambda)+2(-2+4\lambda)-3=0
2+5-2\lambda-4+8\lambda-3=0 \quad\Longrightarrow\quad 6\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=0.
Logo
R=(1,-5,-2).

Passo 3

Encontrar S na reta s. Parametrizando por t:
x=-1+3t,\quad y=1-2t,\quad z=3+t.
Substituindo em 2x-y+2z-3=0:
2(-1+3t)-(1-2t)+2(3+t)-3=0
-2+6t-1+2t+6+2t-3=0 \quad\Longrightarrow\quad 10t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0.
Assim
S=(-1,1,3).

Passo 4

Calcular a área do triângulo RSP. Use vetores
\overrightarrow{RS}=S-R=(-2,6,5), \quad \overrightarrow{RP}=P-R=(0,4,8).
O produto vetorial é
\overrightarrow{RS}\times\overrightarrow{RP} =(28,\,16,\,-8),
cuja norma vale
\|\,(28,16,-8)\|=\sqrt{28^2+16^2+(-8)^2} =\sqrt{784+256+64} =\sqrt{1104} =4\sqrt{69}.
A área do triângulo é metade disso:

Passo 5

\text{Área}=\tfrac12\,\|\overrightarrow{RS}\times\overrightarrow{RP}\| =\tfrac12\cdot4\sqrt{69} =2\sqrt{69}.Á

Resposta

A área do triângulo RSP é 2\sqrt{69}.

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