Considere as retas r: X=(-7,3,-7)+\lambda(3,-2,4) e s: \frac{x+6}{-4}=\frac{2 y+2}{2}=\frac{-z-1}{3}.
a) mostre que elas são coplanares não paralelas;
b) determine a medida do ângulo formado por r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r: X = (-7,3,-7) + \lambda\,(3,-2,4),
s: \frac{x+6}{-4}=\frac{2y+2}{2}=\frac{-z-1}{3}.
A tarefa é, em geometria vetorial, (a) mostrar que r e s são coplanares e não paralelas; (b) determinar o ângulo entre elas. Para isso vamos precisar reescrever s em forma paramétrica, extrair vetores diretores, usar produto escalar triplo para coplanaridade e a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Transformamos s de forma simétrica em forma paramétrica. Seja t=\tfrac{x+6}{-4}=\tfrac{2y+2}{2}=\tfrac{-z-1}{3}. Então
x+6=-4t,\quad 2y+2=2t,\quad -z-1=3t
de onde
x=-6-4t,\quad y=t-1,\quad z=-1-3t.
Logo
s: X = (-6,-1,-1) + t\,(-4,1,-3).

Passo 3

Os vetores diretores são
v_r = (3,-2,4), \quad v_s = (-4,1,-3).
Como não existe k tal que (3,-2,4)=k(-4,1,-3) (por exemplo 3/(-4)\neq -2/1), concluímos que r e s não são paralelas.

Passo 4

Para verificar coplanaridade, calculamos o vetor que liga um ponto de r, digamos P_r=(-7,3,-7), a um ponto de s, digamos P_s=(-6,-1,-1):
w = P_s - P_r = (1,-4,6).
O produto escalar triplo é
\det\begin{pmatrix} 1 & -4 & 6\\\\ 3 & -2 & 4\\\\ -4 & 1 & -3 \end{pmatrix} =1\cdot\bigl((-2)(-3)-4\cdot1\bigr) -(-4)\cdot\bigl(3\cdot(-3)-4\cdot(-4)\bigr) +6\cdot\bigl(3\cdot1-(-2)\cdot(-4)\bigr) =2+28-30=0.
Como o produto triplo é zero, w,v_r,v_s são coplanares, logo as retas r e s compartilham um mesmo plano.

Passo 5

O ângulo \theta entre r e s é o mesmo entre v_r e v_s, dado por
v_r\cdot v_s = 3(-4)+(-2)\cdot1+4(-3) = -26, \quad \|v_r\|=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}, \quad \|v_s\|=\sqrt{(-4)^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{26}.
Logo
\cos\theta = \frac{v_r\cdot v_s}{\|v_r\|\|v_s\|} =-\frac{26}{\sqrt{29}\,\sqrt{26}} =-\frac{26}{\sqrt{754}}.
O ângulo agudo formado é
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{26}{\sqrt{754}}\biggr)\approx18,4^\circ.

Resposta

(a) As retas são coplanares (produto escalar triplo zero) e não paralelas (vetores diretores não colineares).
(b) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl|\tfrac{v_r\cdot v_s}{\|v_r\|\|v_s\|}\bigr|=\operatorname{arccos}\!\tfrac{26}{\sqrt{754}}\approx18,4^\circ.

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