Considere as retas r: X=(-7,3,-7)+\lambda(3,-2,4) e s: \frac{x+6}{-4}=\frac{2 y+2}{2}=\frac{-z-1}{3}.
a) mostre que elas são coplanares não paralelas;
b) determine a medida do ângulo formado por r e s.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r: X = (-7,3,-7) + \lambda\,(3,-2,4),
s: \frac{x+6}{-4}=\frac{2y+2}{2}=\frac{-z-1}{3}.
A tarefa é, em geometria vetorial, (a) mostrar que r e s são coplanares e não paralelas; (b) determinar o ângulo entre elas. Para isso vamos precisar reescrever s em forma paramétrica, extrair vetores diretores, usar produto escalar triplo para coplanaridade e a fórmula do ângulo entre vetores.
Passo 2
Transformamos s de forma simétrica em forma paramétrica. Seja t=\tfrac{x+6}{-4}=\tfrac{2y+2}{2}=\tfrac{-z-1}{3}. Então
x+6=-4t,\quad 2y+2=2t,\quad -z-1=3t
de onde
x=-6-4t,\quad y=t-1,\quad z=-1-3t.
Logo
s: X = (-6,-1,-1) + t\,(-4,1,-3).
Passo 3
Os vetores diretores são
v_r = (3,-2,4), \quad v_s = (-4,1,-3).
Como não existe k tal que (3,-2,4)=k(-4,1,-3) (por exemplo 3/(-4)\neq -2/1), concluímos que r e s não são paralelas.
Passo 4
Para verificar coplanaridade, calculamos o vetor que liga um ponto de r, digamos P_r=(-7,3,-7), a um ponto de s, digamos P_s=(-6,-1,-1):
(a) As retas são coplanares (produto escalar triplo zero) e não paralelas (vetores diretores não colineares).
(b) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl|\tfrac{v_r\cdot v_s}{\|v_r\|\|v_s\|}\bigr|=\operatorname{arccos}\!\tfrac{26}{\sqrt{754}}\approx18,4^\circ.