Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesmo tamanho. Se A B=B A, mostre que valem as seguintes igualdades:
(A+B)^2=A^2+B^2+2 A B, (A-B)^2=A^2+B^2-2 A B, (A+B)(A-B)=A^2-B^2

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho e satisfazem ;AB = BA. Queremos mostrar as fórmulas de expansão tipo binomial para matrizes que comutam. O conteúdo aqui é álgebra matricial e uso da comutatividade para agrupar termos.

Passo 2

Para calcular (A+B)^2, aplicamos a distributividade:
(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2
Como AB = BA, os termos do meio se somam em 2AB, logo
(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

Passo 3

Para (A-B)^2, fazemos a mesma ideia:
(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2
Usando AB = BA, os dois termos centrais viram -2AB, portanto
(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2,
que escrevemos como
(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB

Passo 4

Para o produto (A+B)(A-B), expandimos:
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
Pela comutatividade AB = BA, os termos -AB + BA se cancelam, sobrando
(A+B)(A-B) = A^2 - B^2

Resposta

(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB, (A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB, (A+B)(A-B) = A^2 - B^2

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