Sejam
e
duas matrizes quadradas de mesmo tamanho. Se
, mostre que valem as seguintes igualdades:
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas do mesmo tamanho e satisfazem
. Queremos mostrar as fórmulas de expansão tipo binomial para matrizes que comutam. O conteúdo aqui é álgebra matricial e uso da comutatividade para agrupar termos.
Passo 2
Para calcular
, aplicamos a distributividade:
Como
, os termos do meio se somam em
, logo
Passo 3
Para
, fazemos a mesma ideia:
Usando
, os dois termos centrais viram
, portanto
que escrevemos como
Passo 4
Para o produto
, expandimos:
Pela comutatividade
, os termos
se cancelam, sobrando