Considere a reta que passa nos pontos A=(1,1,1) e C=(1,0,0). Encontre o valor de a do ponto B=(2,1, a), tal que o vetor B A forme um ângulo de 60 graus com a reta.

Passo 1

O enunciado dá a reta que passa por A=(1,1,1) e C=(1,0,0) e o ponto B=(2,1,a). Queremos achar a de modo que o vetor BA forme 60^circ com a direção da reta. Vamos usar produto escalar e normas de vetores.

Passo 2

A direção da reta é dada pelo vetor
AC = C - A = (1,0,0) - (1,1,1) = (0,-1,-1)

Passo 3

O vetor de B até A é
BA = A - B = (1,1,1) - (2,1,a) = (-1,0,1-a)

Passo 4

Pelo produto escalar, o cosseno do ângulo theta entre BA e AC é
costheta = BAcdotAC|BA|;|AC|
Como theta=60^circ, temos cos60^circ=tfrac12. Calculamos
BAcdotAC = (-1)cdot0 + 0cdot(-1) + (1-a)cdot(-1) = a-1,
|AC| = raiz0^2+(-1)^2+(-1)^2 = raiz2, |BA| = raiz(-1)^2 + 0^2 + (1-a)^2 = raiz1+(1-a)^2
Então a equação é
a-1raiz2,raiz1+(1-a)^2 = 12

Passo 5

Elevando ao quadrado e simplificando:
l(a-1r)^2 = 12l[1+(1-a)^2r] ;Longrightarrow; 2(a-1)^2 = 1 + (1-a)^2 ;Longrightarrow; a^2-2a=0 ;Longrightarrow; ain0,2
Como queremos cos60^circ>0, exigimos a-1>0, logo
a=2.

Resposta

a=2

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