Verifique se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, determine o ponto de intersecção.

OBS: Há diversas formas para resolver esse exercício. Vou apresentar 2 opções

OPÇÂO 1:

Igualando as equações para a coordenada y nas retas r e s, obtemos:
3 x-1=4 x-2 -x=-1 x=1
Se as retas são concorrentes, quando x=1, os valores das coordenadas y e z devem ser iguais nas retas. Verificando:
Coordenada y:
Em r y=3(1)-1=2 e em s: y=4(1)-2=2 OK!
Coordenada z:
Emr y=2(1)+1=3 e em s: z=3(1)=3 OK!
Portanto, as retas se interceptam em P=(1 , 2 , 3)

OPÇÂO 2:

Podemos escrever as equações paramétricas e descobrir se existe um valor do parâmetro t para o qual as retas coincidem.
Das equações dadas, obtemos
Reta r: x=y+13 e x=z-12 x1=y+13=z-12 r:cx=0+t y=-1+3 t z=1+2 t
Reta s: x=y+24 e x=z3 x1=y+24=z3 r:cx=0+t y=-2+4 t z=0+3 t
Para encontrar t, podemos igualar a componente y em r e s :
-1+3 t=-2+4 t t=1
Se as retas são concorrentes, esse mesmo valor de t deve ser encontrado ao igualar as equações para as coordenadas x e z :
Assim, para t=1 teremos
Na reta r, x=0+1=1 ; y=-1+3=2 e z=1+2=3. Ou seja, quando t=1, a reta r passa pelo ponto P=(1 , 2 , 3)
Na reta s, x=0+1, y=-2+4=2 e z=3. Ou seja, quando t=1, a reta s passa pelo ponto P=(1, 2, 3)
RESPOSTA: As retas são concorrentes e se interceptam no ponto (1,2,3)

Passo 1

O enunciado fornece duas retas em R^3 definidas por
r: y = 3x - 1, z = 2x + 1
e
s: y = 4x - 2, z = 3x
O objetivo é verificar se existe um ponto (x,y,z) que satisfaça simultaneamente as duas, isto é, se as retas são concorrentes, e, em caso afirmativo, determinar esse ponto.

Passo 2

Para haver interseção, as duas expressões de y devem ser iguais, ou seja,
3x - 1 = 4x - 2
Resolvendo essa igualdade obtemos
x = 1

Passo 3

Agora substituímos x = 1 nas equações de y e z de ambas as retas:
Para a reta r:
yr = 3cdot 1 - 1 = 2
zr = 2cdot 1 + 1 = 3
Para a reta s:
ys = 4cdot 1 - 2 = 2
zs = 3cdot 1 = 3
As coordenadas coincidem, mostrando que o ponto comum é
P = (1,2,3)

Passo 4

Concluímos que as retas r e s são concorrentes e se interceptam no ponto P.

Resposta

As retas são concorrentes e se interceptam em (1,2,3).

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