Considere o tetraedro A B C D em que A=(-3,-2,1), D=(-2,-4,2), A B=(4,3,1), C A=(4,3,0).
Determine o volume do tetraedro A B C D.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro A B C D. Temos o vértice A=(-3,-2,1), o vértice D=(-2,-4,2), o vetor A B=(4,3,1) e o vetor C A=(4,3,0). Vamos usar que o volume de um tetraedro com três arestas u,v,w saindo de um mesmo vértice é
V = 16l|det(u,v,w)r|

Passo 2

Primeiro encontramos as coordenadas de B e C. Como A B=(4,3,1),
B = A + A B = (-3,-2,1)+(4,3,1) = (1,1,2)
Como C A=(4,3,0), temos A C = -C A=(-4,-3,0) e assim
C = A + A C = (-3,-2,1)+(-4,-3,0) = (-7,-5,1)

Passo 3

Agora, a partir de A, as três arestas são
u=A B=(4,3,1),
v=A C=(-4,-3,0),
w=A D=D-A=(1,-2,1).

Passo 4

Calculamos o produto misto (determinante)
det(u,v,w) = 4 & -4 & 1 3 & -3 & -2 1 & 0 & 1
Expandindo pela primeira linha:
4cdotl((-3)cdot1 -(-2)cdot0r) -(-4)cdotl(3cdot1-(-2)cdot1r) +1cdotl(3cdot0-(-3)cdot1r) =4cdot(-3)+4cdot5+1cdot3= -12+20+3=11

Passo 5

O volume do tetraedro é
V = 16l|det(u,v,w)r| = 16cdot|11| = 116

Resposta

116

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