Considere a reta r:(x, y, z)=(1,0,2)+lambda(0,0,2), lambda in R e a reta s:(x, y, z)=(-1,0,1)+ mu(1,1,0), mu in R.
(a) Dê a posição relativa das retas r e s. (paralelas, concorrentes, reversas?)
(b) Determine a distância entre a reta r e a reta s.

Passo 1

Neste exercício a gente tem duas retas no espaço: r:(x,y,z)=(1,0,2)+lambda(0,0,2) e s:(x,y,z)=(-1,0,1)+mu(1,1,0). O conteúdo é geometria analítica em 3D e vamos precisar entender vetores diretores, verificar paralelismo e interseção para classificar a posição relativa e usar produto vetorial e triplo escalar para calcular a distância entre retas reversas.

Passo 2

Primeiro, obtemos os vetores diretores dr=(0,0,2) e ds=(1,1,0). Como um não é múltiplo escalar do outro, elas não são paralelas. Depois tentamos achar um ponto em comum igualando coordenadas: para o eixo x, 1=-1+mu mu=2; para o eixo y, 0=0+mu mu=0. Como isso contradiz, não há interseção. Logo, são retas reversas.

Passo 3

Para calcular a distância entre retas reversas, usamos a fórmula do triplo escalar:

Passo 4

dist = lvert (Q-P)cdot ( dr times ds)rvert| dr times ds|

Passo 5

Aqui escolhemos um ponto de cada reta: P=(1,0,2) em r e Q=(-1,0,1) em s. Então:

Passo 6

Q-P = (-2,0,-1),

Passo 7

dr times ds = (0,0,2) times (1,1,0) = (-2,2,0),

Passo 8

| dr times ds| = 2raiz2,

Passo 9

(Q-P)cdot ( dr times ds) = (-2,0,-1)cdot(-2,2,0) = 4.

Passo 10

Substituindo na fórmula,

Passo 11

dist = 42raiz2 = raiz2

Resposta

As retas são reversas e a distância entre elas é raiz2.

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