Determine quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Justifique sua resposta.
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Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pede para verificar se ele gera o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2.
Conteúdo: combinação linear e definição de conjunto gerador em espaços vetoriais.
e pede para verificar se ele gera o espaço vetorial
Conteúdo: combinação linear e definição de conjunto gerador em espaços vetoriais.
Passo 2
Para ver se um conjunto gera
, tomamos um polinômio genérico
e tentamos escrevê-lo como combinação linear dos vetores do conjunto dado.
Passo 3
Suponha que existam escalares
tais que
No lado esquerdo temos
Passo 4
Comparando coeficientes com
Em particular a equação . Logo, se
(isto é, para polinômios que têm termo em
), não há solução.
Passo 5
Além disso, notamos que
, de modo que os três vetores são linearmente dependentes e a dimensão do subespaço que eles geram é apenas 2 (são efetivamente só dois vetores independentes:
e
).
Resposta
O conjunto
não é gerador de
, pois não é possível obter um termo em
(isto é, não engloba todos os polinômios de grau até 2).