Determine quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Justifique sua resposta.
1, x^2, x^2-2;

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
,1,;x^2,;x^2-2
e pede para verificar se ele gera o espaço vetorial P2 de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2.
Conteúdo: combinação linear e definição de conjunto gerador em espaços vetoriais.

Passo 2

Para ver se um conjunto gera P2, tomamos um polinômio genérico
p(x)=a + b,x + c,x^2
e tentamos escrevê-lo como combinação linear dos vetores do conjunto dado.

Passo 3

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alphacdot1 ;+;betacdot x^2;+;gamma,(x^2-2) ;=;p(x);=;a + b,x + c,x^2
No lado esquerdo temos
alpha + beta,x^2 + gamma,x^2 - 2gamma = (alpha-2gamma);+;0cdot x;+;(beta+gamma),x^2

Passo 4

Comparando coeficientes com
Em particular a equação . Logo, se (isto é, para polinômios que têm termo em ), não há solução.

Passo 5

Além disso, notamos que x^2-2 = 1cdot x^2 + (-2)cdot1, de modo que os três vetores são linearmente dependentes e a dimensão do subespaço que eles geram é apenas 2 (são efetivamente só dois vetores independentes: 1 e x^2).

Resposta

O conjunto 1,,x^2,,x^2-2 não é gerador de P2, pois não é possível obter um termo em x (isto é, não engloba todos os polinômios de grau até 2).

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