Seja V=M2(R) o espaço vetorial das matrizes de ordem 2 times 2 sobre o corpo R. Verifique se o subconjunto W é subespaço de V nos seguintes casos:
W é o conjunto das matrizes simétricas.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M2(R)
e o subconjunto
W = Ain V mid A^T = A,
isto é, W é o conjunto das matrizes simétricas de ordem 2. Para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Se A,Bin W, então A+Bin W.
  3. Se Ain W e alphainR, então alpha Ain W.

Passo 2

Verificação de 0in W.
A matriz zero 0 satisfaz
0^T = 0
logo 0 é simétrica e portanto 0in W.

Passo 3

Fechamento sob adição.
Sejam A,Bin W. Então A^T = A e B^T = B. Considere A+B. Temos
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B,
logo A+B também é simétrica, isto é, A+Bin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja Ain W e alphainR. Como A^T = A, então
(alpha A)^T = alpha,A^T = alpha,A,
logo alpha A é simétrica, ou seja, alpha Ain W.

Passo 5

Conclusão.
Verificamos que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Portanto W é um subespaço de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de M2(R).

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