Seja
o espaço vetorial das matrizes de ordem
sobre o corpo
. Verifique se o subconjunto
é subespaço de
nos seguintes casos:
é o conjunto das matrizes simétricas.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
,
isto é, é o conjunto das matrizes simétricas de ordem
. Para mostrar que
é subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
e o subconjunto
isto é,
-
. - Se
, então . - Se
e , então .
Passo 2
Verificação de
.
A matriz zero satisfaz
A matriz zero
logo
é simétrica e portanto
.
Passo 3
Fechamento sob adição.
Sejam . Então
e
. Considere
. Temos
Sejam
logo
também é simétrica, isto é,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
. Como
, então
Seja
logo
é simétrica, ou seja,
.
Passo 5
Conclusão.
Verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Portanto
é um subespaço de
.
Verificamos que