Considere as seguintes retas:
r:l y=2 x+1 z=-3 x-2 e s:l x=-1+2 t y=4 t z=3-6 t
Obter uma equação geral do plano que contém as retas r e s dadas acima.

Passo 1

Então, temos que encontrar a equação geral do plano que contém as retas r e s. O conteúdo é geometria vetorial no espaço: vamos precisar escrever as retas em forma paramétrica, extrair vetores diretores, achar um ponto em cada reta, usar produto vetorial para obter o vetor normal ao plano e então usar a forma de equação de plano.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a reta
Para a reta (s] já temos:

Passo 3

Agora capturamos os vetores diretores. Para r, o vetor diretor é vec dr = (1, 2, -3) vindo dos coeficientes de lambda. Para s, o vetor diretor é vec ds = (2, 4, -6). A gente até observa que vec ds = 2,vec dr, ou seja, as retas são paralelas em direção.

Passo 4

Como as retas não coincidem (basta ver que o ponto inicial de r, que é quando lambda = 0, é (0,1,-2), enquanto na reta s, quando t = 0, o ponto é (-1,0,3)), podemos usar um vetor que liga esses pontos para definir o plano. Definimos PQ = Q0 - P0, onde P0 = (0,1,-2) e Q0 = (-1,0,3). Logo
PQ = (-1,0,3) - (0,1,-2) = (-1, -1, 5)

Passo 5

Com vec dr e PQ em mãos, usamos o produto vetorial para achar um vetor normal ao plano: vec n = vec dr times PQ. Computando:
vec n = (1,2,-3)times(-1,-1,5) = (7, -2, 1)

Passo 6

A equação geral do plano pode ser escrita como vec n cdot ((x,y,z) - P0) = 0. Substituindo vec n = (7,-2,1) e P0 = (0,1,-2), temos:
7(x - 0) - 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0
Desenvolvendo e simplificando a gente obtém:
7x - 2y + z + 4 = 0

Resposta

7x - 2y + z + 4 = 0

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