Determine quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Justifique sua resposta.
;
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
dos polinômios de grau
, que tem dimensão 3, e o conjunto
Para ser gerador de
, esse conjunto deve permitir escrever um polinômio genérico
como combinação linear de
,
e
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Desenvolvendo o lado esquerdo, obtemos
Passo 3
Comparando coeficientes em
Dessa forma
que existe para quaisquer pode ser gerado por esse conjunto, ou seja, ele espalha
.
Passo 4
Para verificar independência linear, considere
como polinômio nulo. Comparando coeficientes, obtemos
que implica
, depois
e
. A única combinação linear que dá zero é trivial, então os três vetores são independentes.
Como temos 3 vetores independentes em um espaço de dimensão 3, esse conjunto é uma base de
e, em particular, é gerador.
Resposta
O conjunto
é um conjunto gerador (na verdade, uma base) de
.