Determine quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Justifique sua resposta.
2, x^2, 2 x+3;

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial P2 dos polinômios de grau <=2, que tem dimensão 3, e o conjunto
,2,;x^2,;2x+3
Para ser gerador de P2, esse conjunto deve permitir escrever um polinômio genérico
p(x)=a + b,x + c,x^2
como combinação linear de 2, x^2 e 2x+3.

Passo 2

Suponha que existam escalares A,B,C tais que
Acdot2 + Bcdot x^2 + Ccdot(2x+3) ;=; a + b,x + c,x^2
Desenvolvendo o lado esquerdo, obtemos
2A + 3C ;+; 2C,x ;+; B,x^2

Passo 3

Comparando coeficientes em
Dessa forma
que existe para quaisquer pode ser gerado por esse conjunto, ou seja, ele espalha .

Passo 4

Para verificar independência linear, considere
Acdot2 + Bcdot x^2 + Ccdot(2x+3) = 0
como polinômio nulo. Comparando coeficientes, obtemos
2A + 3C = 0, 2C = 0, B = 0
que implica C=0, depois A=0 e B=0. A única combinação linear que dá zero é trivial, então os três vetores são independentes.
Como temos 3 vetores independentes em um espaço de dimensão 3, esse conjunto é uma base de P2 e, em particular, é gerador.

Resposta

O conjunto 2,;x^2,;2x+3 é um conjunto gerador (na verdade, uma base) de P2.

Exercícios relacionados