Considere a reta r dada pelas equações:
r: \quad x=1 ; 9-3 y=6-3 z
Uma equação vetorial para r pode ser dada por
r: \quad X=(\square, 2, \square)+\lambda(\square, \square), \quad \lambda \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado dá a reta r como interseção dos planos
x = 1
e
9 - 3y = 6 - 3z.
Queremos escrever r na forma vetorial
X = (\,\square,2,\square) + \lambda(\,\square,\square,\square),\quad \lambda\in\mathbb{R},
isto é, achar um ponto em r cujo segundo componente seja 2 e o vetor diretor.

Passo 2

Da segunda equação temos
9 - 3y = 6 - 3z \;\Longrightarrow\; 9 - 6 = 3y - 3z \;\Longrightarrow\; 3 = 3(y - z) \;\Longrightarrow\; y - z = 1,
ou seja,
y = z + 1.

Passo 3

Como x=1 é fixo e y = z+1, podemos usar z como parâmetro. Se chamarmos z=\lambda, então
x = 1,\quad y = \lambda + 1,\quad z = \lambda.
Logo, uma forma paramétrica é
(X,Y,Z) = \bigl(1,\;\lambda+1,\;\lambda\bigr).

Passo 4

Para ajustar ao formato pedido, tomamos o ponto de parâmetro \lambda=1, pois assim
y = 1 + 1 = 2.
Isso gera o ponto
P = (1,2,1)
que tem segunda coordenada igual a 2.

Passo 5

O vetor diretor sai diretamente dos coeficientes de \lambda em (1,\lambda+1,\lambda), ou seja,
d = (0,1,1).

Passo 6

Portanto, uma equação vetorial para r no formato pedido é
r:\quad X = (1,2,1) + \lambda\,(0,1,1), \quad \lambda\in\mathbb{R}.

Resposta

Preenchendo os quadradinhos:
X = (1,2,1) + \lambda\,(0,1,1),\quad \lambda\in\mathbb{R}.

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