Questão 2: Considere o subespaço U de R^{4} cuja base \{(1,1,1,1),(1,0,-1,0)\}.
a) Obtenha uma base ortonormada para U.
b) Determine a projeção ortogonal de (0,1,0,2) sobre U.
c) Qual a distância de (0,1,0,2) a U ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço U\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
u_1=(1,1,1,1),\quad u_2=(1,0,-1,0).
Precisamos (a) encontrar uma base ortonormada de U usando o processo de Gram–Schmidt; (b) calcular a projeção ortogonal de w=(0,1,0,2) em U; (c) determinar a distância de w a U, que é o comprimento do componente ortogonal.

Passo 2

Aplicamos Gram–Schmidt a \{u_1,u_2\}.
  1. Normalizamos u_1:
\|u_1\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2}=\sqrt{4}=2,
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v_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\bigr).
  1. Projetamos u_2 sobre v_1:
\mathrm{proj}_{v_1}(u_2)=(u_2\cdot v_1)\,v_1, \quad u_2\cdot v_1 =1\cdot\tfrac12+0\cdot\tfrac12+(-1)\cdot\tfrac12+0\cdot\tfrac12 =0.
Então o componente ortogonal é u_2 mesmo, e
\|u_2\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2},
v_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\bigl(\tfrac1{\sqrt2},0,-\tfrac1{\sqrt2},0\bigr).
Portanto uma base ortonormada de U é
\{\,v_1,v_2\} \quad\text{com}\quad v_1=\bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\bigr), \; v_2=\bigl(\tfrac1{\sqrt2},0,-\tfrac1{\sqrt2},0\bigr).

Passo 3

A projeção ortogonal de w=(0,1,0,2) em U é
\mathrm{proj}_U(w) =(w\cdot v_1)\,v_1+(w\cdot v_2)\,v_2.
Calculamos
w\cdot v_1 =0\cdot\tfrac12+1\cdot\tfrac12+0\cdot\tfrac12+2\cdot\tfrac12 =\tfrac32, \quad w\cdot v_2 =0\cdot\tfrac1{\sqrt2}+1\cdot0+0\cdot\bigl(-\tfrac1{\sqrt2}\bigr)+2\cdot0=0.
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\mathrm{proj}_U(w) =\tfrac32\,v_1 =\tfrac32\bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\bigr) =\bigl(\tfrac34,\tfrac34,\tfrac34,\tfrac34\bigr).

Passo 4

A distância de w a U é \|w-\mathrm{proj}_U(w)\|. Temos
w-\mathrm{proj}_U(w) =\bigl(0,1,0,2\bigr)-\bigl(\tfrac34,\tfrac74,\tfrac34,\tfrac34\bigr) =\bigl(-\tfrac34,\tfrac14,-\tfrac34,\tfrac54\bigr).
O quadrado da norma é
\Bigl(-\tfrac34\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac14\Bigr)^2+\Bigl(-\tfrac34\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac54\Bigr)^2 =\frac{9}{16}+\frac{1}{16}+\frac{9}{16}+\frac{25}{16} =\frac{44}{16}=\frac{11}{4},
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\|w-\mathrm{proj}_U(w)\|=\sqrt{\tfrac{11}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}.

Resposta

(a) Uma base ortonormada é
\bigl\{\,(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12),\;(\tfrac1{\sqrt2},0,-\tfrac1{\sqrt2},0)\bigr\}.
(b) \mathrm{proj}_U(0,1,0,2)=(\tfrac34,\tfrac34,\tfrac34,\tfrac34).
(c) A distância é \tfrac{\sqrt{11}}{2}.

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