Questão 2: Considere o subespaço
de
cuja base
.
a) Obtenha uma base ortonormada para U.
b) Determine a projeção ortogonal de
sobre
.
c) Qual a distância de
a
?
a) Obtenha uma base ortonormada para U.
b) Determine a projeção ortogonal de
c) Qual a distância de
Passo 1
O enunciado define o subespaço
gerado pelos vetores
Precisamos (a) encontrar uma base ortonormada de
usando o processo de Gram–Schmidt; (b) calcular a projeção ortogonal de
em
; (c) determinar a distância de
a
, que é o comprimento do componente ortogonal.
Passo 2
Aplicamos Gram–Schmidt a
.
- Normalizamos
:
logo
- Projetamos
sobre :
Então o componente ortogonal é
mesmo, e
Portanto uma base ortonormada de
é
Passo 3
A projeção ortogonal de
em
é
Calculamos
Logo
Passo 4
A distância de
a
é
. Temos
O quadrado da norma é
logo
Resposta
(a) Uma base ortonormada é
(b)
(c) A distância é .
(c) A distância é