(a) Determine a equação do plano pi que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,3).
(b) Seja O=(0,0,0) a origem do sistema de coordenadas. Determine o ponto P in pi tal que a reta que liga os pontos O e P seja perpendicular ao plano pi.
(c) Calcule o volume do tetraedro O A B C.
(d) Determine a equação geral do plano que contém o eixo z e que é perpendicular ao plano pi.

Passo 1

Resumo do enunciado:
Temos três pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0), C=(0,0,3) e definimos o plano pi que passa por eles. Depois precisamos
1) achar a equação de pi,
2) projetar ortogonalmente a origem O=(0,0,0) em pi e chamar esse ponto de P,
3) calcular o volume do tetraedro OABC e
4) encontrar a equação geral do plano que contém o eixo z e é perpendicular a pi.
Os conteúdos usados serão vetores, produto vetorial, equação geral de plano, projeção ortogonal e produto misto para volume.

Passo 2

Para obter a normal de pi usamos os vetores
AB=B-A = (-1,2,0), AC=C-A = (-1,0,3)
e fazemos o produto vetorial
n = ABtimesAC = i & j & k [6pt] -1 & 2 & 0 [3pt] -1 & 0 & 3 = (6,,3,,2) ]

Passo 3

Com n=(6,3,2) a forma geral da equação de pi é
6x + 3y + 2z + D = 0
Como A=(1,0,0) está em pi, substituímos:
6cdot1 + 3cdot0 + 2cdot0 + D = 0 Longrightarrow D = -6
Logo a equação de pi é
6x + 3y + 2z - 6 = 0

Passo 4

Para projetar ortogonalmente O em pi usamos a fórmula
P ;=; O ;-;ncdot O + D|n|^2,n
Aqui ncdot O + D = 0 - 6 = -6 e |n|^2 = 6^2+3^2+2^2=49. Portanto
P ;=; --649,(6,3,2) ;=;649,(6,3,2) ;=;l(tfrac3649,,tfrac1849,,tfrac1249r)

Passo 5

O volume do tetraedro OABC é dado por
V = 16l|detl[OA,OB,OCr]r|
Como OA=(1,0,0), OB=(0,2,0), OC=(0,0,3), a matriz é diagonal com determinante 1cdot2cdot3=6. Logo
V = 16times 6 = 1

Passo 6

Procuramos o plano que contém o eixo z e é perpendicular a pi.
1. Qualquer plano que contenha o eixo z tem um vetor normal da forma (a,b,0) porque a direção (0,0,1) deve ficar no próprio plano.
2. Perpendicular a pi significa que seu normal (a,b,0) satisfaz
(a,b,0)cdot(6,3,2)=6a+3b+0cdot2=0
Uma escolha simples é (a,b,0)=(3,-6,0). Como o plano passa pela origem, a constante é zero. Assim a equação geral é
3x - 6y = 0,
que pode ser simplificada para
x - 2y = 0

Resposta

(a) 6x + 3y + 2z - 6 = 0
(b) P=l(tfrac3649,,tfrac1849,,tfrac1249r)
(c) V=1
(d) x - 2y = 0

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