(a) Determine a equação do plano que passa pelos pontos e .
(b) Seja a origem do sistema de coordenadas. Determine o ponto tal que a reta que liga os pontos e seja perpendicular ao plano .
(c) Calcule o volume do tetraedro .
(d) Determine a equação geral do plano que contém o eixo e que é perpendicular ao plano .
Passo 1
Resumo do enunciado:
Temos três pontos , , e definimos o plano que passa por eles. Depois precisamos ) achar a equação de , ) projetar ortogonalmente a origem em e chamar esse ponto de , ) calcular o volume do tetraedro e ) encontrar a equação geral do plano que contém o eixo e é perpendicular a .
Os conteúdos usados serão vetores, produto vetorial, equação geral de plano, projeção ortogonal e produto misto para volume.
Passo 2
Para obter a normal de usamos os vetores
e fazemos o produto vetorial
n = ABtimesAC = i & j & k [6pt] -1 & 2 & 0 [3pt] -1 & 0 & 3 = (6,,3,,2) ]
Passo 3
Com n=(6,3,2) a forma geral da equação de pi é
6x + 3y + 2z + D = 0
Como A=(1,0,0) está em pi, substituímos:
6cdot1 + 3cdot0 + 2cdot0 + D = 0 Longrightarrow D = -6
Logo a equação de pi é
6x + 3y + 2z - 6 = 0
Passo 4
Para projetar ortogonalmente O em pi usamos a fórmula
P ;=; O ;-;ncdot O + D|n|^2,n
Aqui ncdot O + D = 0 - 6 = -6 e |n|^2 = 6^2+3^2+2^2=49. Portanto
P ;=; --649,(6,3,2) ;=;649,(6,3,2) ;=;l(tfrac3649,,tfrac1849,,tfrac1249r)
Passo 5
O volume do tetraedro OABC é dado por
V = 16l|detl[OA,OB,OCr]r|
Como OA=(1,0,0), OB=(0,2,0), OC=(0,0,3), a matriz é diagonal com determinante 1cdot2cdot3=6. Logo
V = 16times 6 = 1
Passo 6
Procuramos o plano que contém o eixo z e é perpendicular a pi. 1. Qualquer plano que contenha o eixo z tem um vetor normal da forma (a,b,0) porque a direção (0,0,1) deve ficar no próprio plano. 2. Perpendicular a pi significa que seu normal (a,b,0) satisfaz
(a,b,0)cdot(6,3,2)=6a+3b+0cdot2=0
Uma escolha simples é (a,b,0)=(3,-6,0). Como o plano passa pela origem, a constante é zero. Assim a equação geral é