Considere a reta r de equações
l x=1-lambda y=-2+3 lambda z=2-lambda
Ache os pontos P de r tais que a distância entre P e (1,0,2) é raiz3.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a reta r dada por
x=1-lambda y=-2+3lambda z=2-lambda
Queremos achar os pontos P sobre r tais que a distância de P ao ponto Q=(1,0,2) seja raiz3. Vamos usar a fórmula da distância no espaço e parametrizar P em função de lambda.

Passo 2

Escrevendo o ponto genérico P( lambda) na reta e o ponto Q:
P(lambda)=(1-lambda,,-2+3lambda,,2-lambda),
Q=(1,0,2)
A distância d entre P( lambda) e Q é dada por
d^2=(xP- xQ)^2+(yP-yQ)^2+(zP-zQ)^2
Queremos d=raiz3, ou seja d^2=3.

Passo 3

Substituindo as coordenadas em d^2=3:
(1-lambda-1)^2+(-2+3lambda-0)^2+(2-lambda-2)^2=3
Isso dá
(-lambda)^2+(3lambda-2)^2+(-lambda)^2=3
lambda^2+(9lambda^2-12lambda+4)+lambda^2=3
11lambda^2-12lambda+4-3=0
11lambda^2-12lambda+1=0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática 11lambda^2-12lambda+1=0 pelo
fórmula de Bhaskara:
lambda=12pmraiz(-12)^2-4cdot11cdot12cdot11 =12pmraiz144-4422 =12pm1022
Assim temos
lambda1=1, lambda2=111

Passo 5

Encontrando os pontos P correspondentes a cada lambda:
Para lambda1=1:
P1=(1-1, -2+3cdot1, 2-1)=(0,1,1)
Para lambda2=tfrac111:
P2=(1-tfrac111, -2+3cdottfrac111, 2-tfrac111) =(tfrac1011,-tfrac1911,tfrac2111)

Resposta

Os pontos são (0,1,1) e l(tfrac1011,-tfrac1911,tfrac2111r).

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