Dados dois pontos distintos A e B e um plano a, construa um plano equidistante dos dois pontos e que seja paralelo ao plano dado. Discuta.

Passo 1

Temos dois pontos distintos A e B e um plano alpha. Queremos construir um plano beta tal que betaparal<=lalpha e as distâncias de A e de B a beta sejam iguais. Para isso vamos usar a equação geral de um plano paralelo a alpha e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Seja alpha dado por
ax+by+cz+d=0,
com vetor normal n=(a,b,c). Qualquer plano beta paralelo a alpha pode ser escrito como
ax+by+cz+d+k=0,
onde k é um parâmetro.

Passo 3

A distância de um ponto P=(xP,yP,zP) ao plano beta é
d(P,beta)=|a xP + b yP + c zP + d + k||n|
Denotemos
L(P)=a xP + b yP + c zP + d
Queremos
d(A,beta)=d(B,beta)Long<=ftrightarrow|L(A)+k|=|L(B)+k|

Passo 4

Para resolver |L(A)+k|=|L(B)+k| consideramos dois casos:
  1. L(A)=L(B). Nesse caso a igualdade vale para todo k, logo existem infinitas soluções (qualquer plano paralelo a alpha serve).
  2. L(A)neq L(B). Só resta a possibilidade
L(A)+k = -l(L(B)+kr)
que dá
k = -L(A)+L(B)2

Passo 5

No caso L(A)neq L(B) obtemos um único valor de k e, substituindo em ax+by+cz+d+k=0, chegamos a
ax+by+cz = a(xA+xB)+b(yA+yB)+c(zA+zB)2
Isto significa que o plano beta tem o mesmo vetor normal n de alpha e passa pelo ponto médio M=l((xA+xB)/2,(yA+yB)/2,(zA+zB)/2r) de AB.

Passo 6

Concluímos que:
  • Se L(A)=L(B) (i.e. A e B têm mesma distância assinada de alpha), há infinitas soluções: qualquer plano paralelo a alpha é equidistante de A e B.
  • Se L(A)neq L(B), existe exatamente um plano beta, que é paralelo a alpha e passa pelo ponto médio de AB.

Resposta

O plano único, quando existe, é aquele paralelo a alpha com vetor normal n=(a,b,c) que passa pelo ponto médio de AB; sua equação é
ax+by+cz=a(xA+xB)+b(yA+yB)+c(zA+zB)2
Se A e B têm a mesma distância assinada de alpha, então há infinitas soluções (qualquer plano paralelo a alpha serve). Caso contrário, há exatamente esse plano.

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