Dados dois pontos distintos
e
e um plano a, construa um plano equidistante dos dois pontos e que seja paralelo ao plano dado. Discuta.
Passo 1
Temos dois pontos distintos
e
e um plano
. Queremos construir um plano
tal que
e as distâncias de
e de
a
sejam iguais. Para isso vamos usar a equação geral de um plano paralelo a
e a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Seja
dado por
com vetor normal
onde
é um parâmetro.
Passo 3
A distância de um ponto
ao plano
é
Denotemos
Queremos
Passo 4
Para resolver
consideramos dois casos:
-
. Nesse caso a igualdade vale para todo , logo existem infinitas soluções (qualquer plano paralelo a serve). -
. Só resta a possibilidade
que dá
Passo 5
No caso
obtemos um único valor de
e, substituindo em
, chegamos a
Isto significa que o plano
Passo 6
Concluímos que:
- Se
(i.e. e têm mesma distância assinada de ), há infinitas soluções: qualquer plano paralelo a é equidistante de e . - Se
, existe exatamente um plano , que é paralelo a e passa pelo ponto médio de .
Resposta
O plano único, quando existe, é aquele paralelo a
com vetor normal
que passa pelo ponto médio de
; sua equação é
Se