Dados dois pontos distintos A e B e uma reta r, construa um plano equidistante de A e B e que seja perpendicular a reta r.

Passo 1

O objetivo é achar um plano que deixe qualquer ponto do plano com a mesma distância de A e de B (ou seja, o plano bissetor perpendicular de AB) e que também seja perpendicular à reta r.

Passo 2

Primeiro, construa o ponto médio M de AB. Para isso, use a construção clássica do ponto médio: com centro em A e raio AB faça um arco; com centro em B e mesmo raio faça outro arco. Eles se cortam em dois pontos. A reta que passa por esses dois pontos de interseção corta AB em M.

Passo 3

Agora, em M, construa a perpendicular à reta AB. Essa reta que passa por M e é perpendicular a AB será uma das geratrizes do plano bissetor de AB.
Em seguida, escolha um ponto contínuo qualquer P sobre a reta r. Em P, trace a perpendicular à reta r (construção de reta perpendicular a outra reta em um ponto dado).
Desloque essa perpendicular de P até o ponto M, traçando uma reta por M paralela à perpendicular que você desenhou em P. Essa nova reta é perpendicular à r e passa por M.

Passo 4

Finalmente, o plano determinado pelas duas retas que passam por M — uma perpendicular a AB e outra perpendicular a r — é o plano desejado, pois contém um perpendicular a AB (é equidistante de A e B) e contém um perpendicular a r (é perpendicular à r).

Resposta

O plano determinado pelas retas passando por M: uma perpendicular a AB e outra perpendicular a r.

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