Dados dois pontos distintos e e um plano , construa um plano equidistante dos dois pontos que seja perpendicular ao plano dado. Discuta.
Passo 1
Relembrando o enunciado: dado dois pontos A e B e um plano α, queremos construir um plano que seja equidistante de A e B e perpendicular a α. O conteúdo envolve a geometria dos planos no espaço: o plano bissetor de um segmento (lugar geométrico dos pontos equidistantes) e a condição de perpendicularidade entre planos via produto escalar de vetores normais.
Passo 2
Para achar o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B, definimos o plano bissetor de AB. Seja M o ponto médio de AB dado por
Esse plano é formado por todos os X que satisfazem
ou seja, seu vetor normal é AB e ele passa por M.
Passo 3
Agora, para que esse plano bissetor seja perpendicular ao plano α, com vetor normal n, basta que suas normais sejam perpendiculares. Logo precisamos de
ABcdotn=0
Passo 4
A condição ABcdotn=0 significa geometricamente que a reta AB é paralela a α. Portanto só existe solução se AB for paralelo a α. Caso contrário, não há nenhum plano que seja simultaneamente equidistante de A e B e perpendicular a α.
Passo 5
Concluímos que, quando AB ∥ α, o plano procurado é o plano bissetor perpendicular de AB, ou seja, o plano que passa por M e tem vetor normal AB. Caso AB não seja paralelo a α, não existe solução.
Resposta
Existe um único plano equidistante de A e B e perpendicular a α se e somente se ABparal<=lalpha. Nesse caso o plano é o bissetor perpendicular de AB, dado por:
Xmid (X - M)cdotAB = 0,
onde M é o ponto médio de AB. Caso AB não seja paralelo a α, não há solução.