Dados dois pontos distintos A e B e um plano alpha, construa um plano equidistante dos dois pontos que seja perpendicular ao plano dado. Discuta.

Passo 1

Relembrando o enunciado: dado dois pontos A e B e um plano α, queremos construir um plano que seja equidistante de A e B e perpendicular a α. O conteúdo envolve a geometria dos planos no espaço: o plano bissetor de um segmento (lugar geométrico dos pontos equidistantes) e a condição de perpendicularidade entre planos via produto escalar de vetores normais.

Passo 2

Para achar o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B, definimos o plano bissetor de AB. Seja M o ponto médio de AB dado por
M=A+B2
Esse plano é formado por todos os X que satisfazem
(X-M)cdotAB=0,
ou seja, seu vetor normal é AB e ele passa por M.

Passo 3

Agora, para que esse plano bissetor seja perpendicular ao plano α, com vetor normal n, basta que suas normais sejam perpendiculares. Logo precisamos de
ABcdotn=0

Passo 4

A condição ABcdotn=0 significa geometricamente que a reta AB é paralela a α. Portanto só existe solução se AB for paralelo a α. Caso contrário, não há nenhum plano que seja simultaneamente equidistante de A e B e perpendicular a α.

Passo 5

Concluímos que, quando AB ∥ α, o plano procurado é o plano bissetor perpendicular de AB, ou seja, o plano que passa por M e tem vetor normal AB. Caso AB não seja paralelo a α, não existe solução.

Resposta

Existe um único plano equidistante de A e B e perpendicular a α se e somente se ABparal<=lalpha. Nesse caso o plano é o bissetor perpendicular de AB, dado por:
Xmid (X - M)cdotAB = 0,
onde M é o ponto médio de AB. Caso AB não seja paralelo a α, não há solução.

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