(2.0) Considere a reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\\ y=2-t \\\ z=a+b t \end{array}\right.
e o plano \pi: 2 x-y+z=4. Determine os valcres de a e b de forma que a distância entre a reta e o plano seja igual a \sqrt{6}.
Atenção As questões só serão aceitas se constarem os cálculos e/ou as justificativa
necessárias para chegar na resposta final.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\begin{cases} x=1+t,\\\ y=2-t,\\\ z=a+b\,t \end{cases}
e o plano \pi:2x-y+z=4.
O conteúdo é “distância entre reta e plano”. Para que essa distância seja bem definida e não nula, a reta deve ser paralela ao plano. Para resolver, precisamos:
  1. achar o vetor direção da reta e o vetor normal do plano;
  2. impor a condição de paralelismo (ortogonalidade entre direção e normal) para determinar b;
  3. usar a fórmula da distância de um ponto qualquer da reta ao plano e igualar a \sqrt{6} para determinar a.

Passo 2

O vetor direção da reta é
\mathbf{d}=(1,\,-1,\,b)
e o vetor normal do plano é
\mathbf{n}=(2,\,-1,\,1).
Para a reta ser paralela ao plano, deve valer \mathbf{d}\cdot\mathbf{n}=0.

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n} =1\cdot2 + (-1)\cdot(-1) + b\cdot1 =2 +1 + b =3 + b.
Impondo 3 + b=0, obtemos
b=-3.

Passo 4

Agora a reta é paralela ao plano. A distância entre ela e o plano é a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Tomemos t=0, o que dá o ponto
P_0=(1,\,2,\,a).
A equação geral do plano é 2x - y + z -4=0. A norma de \mathbf{n} é
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 +1^2} = \sqrt{6}.
A fórmula da distância de P_0 ao plano é
d = \frac{\bigl|2\cdot1 -1\cdot2 +1\cdot a -4\bigr|}{\sqrt{6}} = \frac{\bigl|2-2+a-4\bigr|}{\sqrt{6}} = \frac{\bigl|a-4\bigr|}{\sqrt{6}}.

Passo 5

Queremos d=\sqrt{6}. Logo,
\frac{\bigl|a-4\bigr|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|a-4\bigr| = 6.
Dessa igualdade surgem duas soluções:
a-4 = 6 \quad\Longrightarrow\quad a=10,
a-4 = -6 \quad\Longrightarrow\quad a=-2.

Resposta

As soluções são
b = -3 \quad\text{e}\quad a = 10 \quad\text{ou}\quad a = -2.

Exercícios relacionados