(1.0) Resolva:
(a) Encontre uma equação da reta r_{1} que passa pelos pontos P_{1}=(4,7,9) e P_{2}=(1,2,2).
(b) Encontre uma equação da reta r_{2} que passa pelos pontos Q_{1}=(1,2,-8) e Q_{2}=(7,12,6).
(c) Determine a posição relativa entre r_{1} e r_{2}.

Passo 1

Estamos em Geometria Analítica no espaço, onde precisamos achar as equações paramétricas das retas r_{1} e r_{2} dadas por dois pontos cada, e depois decidir se elas são coincidentes, paralelas ou se cruzam.

Passo 2

Para r_{1} usamos P_{1}=(4,7,9) e P_{2}=(1,2,2). O vetor diretor é
\vec v_{1}=P_{2}-P_{1}=(1-4,\;2-7,\;2-9)=(-3,-5,-7).
Logo, uma forma vetorial de r_{1} é
r_{1}:\;(x,y,z)=(4,7,9)+t\,(-3,-5,-7),\quad t\in\mathbb{R},
ou, em coordenadas paramétricas,
\begin{cases} x=4-3t,\\\ y=7-5t,\\\ z=9-7t. \end{cases}

Passo 3

Para r_{2} usamos Q_{1}=(1,2,-8) e Q_{2}=(7,12,6). O vetor diretor é
\vec v_{2}=Q_{2}-Q_{1}=(7-1,\;12-2,\;6-(-8))=(6,10,14).
Logo, a forma vetorial de r_{2} é
r_{2}:\;(x,y,z)=(1,2,-8)+s\,(6,10,14),\quad s\in\mathbb{R},
ou, em coordenadas paramétricas,
\begin{cases} x=1+6s,\\\ y=2+10s,\\\ z=-8+14s. \end{cases}

Passo 4

Comparando \vec v_{1}=(-3,-5,-7) com \vec v_{2}=(6,10,14), vemos que
(6,10,14)=-2\,(-3,-5,-7),
logo os vetores são colineares e as retas são paralelas.

Passo 5

Para saber se coincidem, verificamos se um ponto de r_{2}, por exemplo Q_{1}=(1,2,-8), satisfaz a equação de r_{1}.
Pediríamos 4-3t=1, 7-5t=2 e 9-7t=-8. Das duas primeiras obtém-se t=1, mas na terceira dá 9-7\cdot1=2\neq -8.
Portanto Q_{1} não pertence a r_{1} e as retas são paralelas mas distintas.

Resposta

(a)
r_{1}:\;(x,y,z)=(4,7,9)+t\,(-3,-5,-7),\quad t\in\mathbb{R}.
(b)
r_{2}:\;(x,y,z)=(1,2,-8)+s\,(6,10,14),\quad s\in\mathbb{R}.
(c) As retas r_{1} e r_{2} são paralelas e distintas.

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