(1.0) Resolva:
(a) Encontre uma equação da reta r_{1} que passa pelos pontos P_{1}=(4,7,9) e P_{2}=(1,2,2).
(b) Encontre uma equação da reta r_{2} que passa pelos pontos Q_{1}=(1,2,-8) e Q_{2}=(7,12,6).
(c) Determine a posição relativa entre r_{1} e r_{2}.
Passo 1
Estamos em Geometria Analítica no espaço, onde precisamos achar as equações paramétricas das retas r_{1} e r_{2} dadas por dois pontos cada, e depois decidir se elas são coincidentes, paralelas ou se cruzam.
Passo 2
Para r_{1} usamos P_{1}=(4,7,9) e P_{2}=(1,2,2). O vetor diretor é
Comparando \vec v_{1}=(-3,-5,-7) com \vec v_{2}=(6,10,14), vemos que
(6,10,14)=-2\,(-3,-5,-7),
logo os vetores são colineares e as retas são paralelas.
Passo 5
Para saber se coincidem, verificamos se um ponto de r_{2}, por exemplo Q_{1}=(1,2,-8), satisfaz a equação de r_{1}.
Pediríamos 4-3t=1, 7-5t=2 e 9-7t=-8. Das duas primeiras obtém-se t=1, mas na terceira dá 9-7\cdot1=2\neq -8.
Portanto Q_{1} não pertence a r_{1} e as retas são paralelas mas distintas.