(Questão 01) [4,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) \vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|;
( ) Se (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é base, então (\vec{u}+\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) é também base;
( ) Se A, B e C são pontos colineares, então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{A B}\|+\|\overrightarrow{B C}\|.
( ) \vec{w} / / \vec{v} \Rightarrow \operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}=\vec{w};
( ) Se (\vec{u}, \vec{v}) é LI, então \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0;
( ) Se E e F são bases, \operatorname{det}\left(M_{E F}\right) \neq 0;
( ) Dados os pontos A, B, C e D, se \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{C D}\| então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{B D}\|.
( ) \vec{u} \perp \vec{v} \Longrightarrow \operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{u}=\overrightarrow{0};

Passo 1

O enunciado apresenta oito afirmações sobre vetores e geometria no plano ou no espaço e pede para marcarmos cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve produto escalar, norma, bases e independência linear, projeção ortogonal, mudança de base (determinante da matriz de passagem) e colinearidade de pontos.

Passo 2

Analisamos as afirmações que envolvem produto escalar, norma e projeção:
  • Sabemos que \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}, não \|\vec{u}\|. Logo a afirmação 1 é falsa.
  • Se \vec{w}\parallel\vec{v}, então \vec{w}=k\vec{v} e
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{w} =\frac{\vec{w}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v} =\frac{k(\vec{v}\cdot\vec{v})}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v} =k\vec{v} =\vec{w},
portanto a afirmação 4 é verdadeira.
  • Se \vec{u}\perp\vec{v}, então \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} =\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v} =\vec{0},
logo a afirmação 8 é verdadeira.

Passo 3

Agora as afirmações sobre bases e independência:
  • Partindo de uma base (\vec{u},\vec{v},\vec{w}), note que (\vec{u}+\vec{v})+(\vec{w})-(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})=\vec{0},
    logo são três vetores linearmente dependentes; a afirmação 2 é falsa.
  • Dois vetores podem ser independentes mesmo sendo ortogonais, caso em que seu produto escalar é zero. Logo “LI implica \vec{u}\cdot\vec{v}\neq0” é falsa (afirmação 5).
  • Se E e F são bases de um mesmo espaço, a matriz de mudança de base M_{EF} é inversível, então \det(M_{EF})\neq0. Assim a afirmação 6 é verdadeira.

Passo 4

Por fim, as afirmações sobre colinearidade de pontos e comprimentos:
  • Se A,B,C são colineares, só vale \|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{AB}\|+\|\overrightarrow{BC}\| quando B estiver entre A e C. Sem essa hipótese não é geral, então a afirmação 3 é falsa.
  • Igualdade de comprimentos \|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{CD}\| não implica qualquer igualdade envolvendo \|\overrightarrow{AC}\| e \|\overrightarrow{BD}\|. Logo a afirmação 7 é falsa.

Resposta

(F)
(F)
(F)
(V)
(F)
(V)
(F)
(V)

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