(1.0) Determine os valores de a e b de forma çue a reta
\left\{\begin{array}{l} x=1+a t \\\ y=-1+2 t \\\ z=b-3 t \end{array}\right.
esteja contida no plano \pi: x+2 y-z=5.

Passo 1

O enunciado pede os valores de a\) e \(b\) para que toda a reta \[\begin{cases} x = 1 + a\,t,\\\ y = -1 + 2\,t,\\\ z = b - 3\,t \end{cases}
fique contida no plano (\pi: x + 2y - z = 5].
Conteúdo: geometria analítica no espaço, relação entre reta e plano.
Para que uma reta esteja contida num plano, duas condições devem valer simultaneamente:
  1. o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano (logo a reta é paralela ao plano);
  2. um ponto qualquer da reta satisfaz a equação do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor normal do plano e o vetor diretor da reta.
O vetor normal de \pi é
\mathbf{n} = (1,\,2,\,-1),
e o vetor diretor da reta é
\mathbf{d} = (a,\,2,\,-3).
Para que \mathbf{d} seja paralelo ao plano, precisamos de
\mathbf{n}\cdot \mathbf{d} = 0.
Calculando o produto escalar,
(1,2,-1)\cdot(a,2,-3)=1\cdot a + 2\cdot2 +(-1)\cdot(-3) = a + 4 +3 = a + 7.
Igualando a zero, obtemos
a + 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -7.

Passo 3

Agora tomamos um ponto qualquer da reta; o mais simples é usar t=0, que dá
P_0=(x,y,z)\bigl|_{t=0} = (1,\,-1,\,b).
Para que P_0 pertença ao plano \pi, basta substituir em x+2y-z=5:
1 + 2\cdot(-1) - b = 5 \quad\Longrightarrow\quad 1 -2 - b =5 \quad\Longrightarrow\quad -1 - b = 5 \quad\Longrightarrow\quad b = -6.

Resposta

a = -7 e b = -6.

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