(Questão 02 ) [ 2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) \sqrt{17} x+5 y^{2}+4 z^{2}=0
b) x^{2}-\sqrt{3} y^{2}+8 z^{2}=1
c) -x^{2}-y^{2}-(z-5)^{2}=-3
d) y^{2}+z^{2}=-1+x^{2}
( )Superfície Esférica
( )Parabolóide Elíptico
( )Hiperbolóide de 1 folha
( )Hiperbolóide de 2 folhas

Passo 1

O enunciado pede para associar cada equação de quádricas à sua forma geométrica: superfície esférica, parabolóide elíptico, hiperbolóide de uma folha e hiperbolóide de duas folhas. Vamos usar a análise dos sinais e dos termos quadráticos (e lineares) em cada equação para classificá-las.

Passo 2

Analisando
\sqrt{17}\,x + 5\,y^{2} + 4\,z^{2} = 0
não há termo x^{2}, mas há termos quadráticos em y e z e um termo linear em x. Reescrevendo
x = -\frac{5}{\sqrt{17}}\,y^{2} - \frac{4}{\sqrt{17}}\,z^{2},
vemos uma superfície em que x é função quadrática negativa de y e z: esse é um parabolóide elíptico.

Passo 3

Analisando
x^{2} - \sqrt{3}\,y^{2} + 8\,z^{2} = 1,
temos dois termos quadráticos positivos x^{2} e 8z^{2} e um negativo -\sqrt{3}\,y^{2}, totalizando duas direções positivas e uma negativa. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Analisando
-\,x^{2} - y^{2} - (z-5)^{2} = -3
e multiplicando por -1, obtemos
x^{2} + y^{2} + (z-5)^{2} = 3,
que é a equação de uma esfera de raio \sqrt{3} centrada em (0,0,5). Logo, é superfície esférica.

Passo 5

Analisando
y^{2} + z^{2} = -1 + x^{2}
ou seja
x^{2} - y^{2} - z^{2} = 1,
vemos um termo quadrático positivo x^{2} e dois negativos -y^{2} e -z^{2}, o que caracteriza um hiperbolóide de duas folhas (as folhas abertas ao longo do eixo x).

Resposta

(c) Superfície Esférica
(a) Parabolóide Elíptico
(b) Hiperbolóide de 1 folha
(d) Hiperbolóide de 2 folhas

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