Considere a reta r: y=a x, a in R, em R^2 e considere os operadores P, R: R^2 R^2 de projeção ortogonal sobre r e reflexão em torno de r.
(a) Mostre que R=2 P-I
(b) Determine as matrizes de P, R em relação à base canônica e em relação à base mathscrB=(1, a), (-a, 1).
© Compare as matrizes obtidas no ítem anterior. Isso mostra porque é bom saber lidar com outras bases além da canônica.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a reta r: y = a x em R^2 e dois operadores lineares: P é a projeção ortogonal em r e R é a reflexão em torno de r. Precisamos mostrar que R = 2P - I, achar as matrizes de P e R na base canônica e na base mathscrB=(1,a),(-a,1) e, por fim, comparar os resultados.

Passo 2

Para calcular P, escolhemos um vetor diretor de r, por exemplo d=(1,a). O vetor unitário é
nu=1raiz1+a^2(1,a)
A projeção de um vetor v=(x,y) em r é
$$
P(v)=(v\cdot\nu),\nu
=\frac{x+ay}{1+a^2}(1,a).
P(v)=(vcdotnu),nu =x+ay1+a^2(1,a) áô
P=\frac{1}{1+a^2} P.
$$

Passo 3

Sabendo que reflexão se escreve sempre como R(v)=2P(v)-v, concluímos diretamente que
R=2P-I

Passo 4

Subtraindo a identidade da projeção duplicada obtemos a matriz de R na base canônica:
R=2,11+a^21 & a a & a^2-I =11+a^21-a^2 & 2a 2a & a^2-1

Passo 5

Na base mathscrB=v1=(1,a),,v2=(-a,1), ambos os vetores são autovetores: P(v1)=v1, P(v2)=0; R(v1)=v1, R(v2)=-v2. Logo as matrizes em mathscrB são diagonais:
[P]mathscrB=1 & 0 0 & 0, [R]mathscrB=1 & 0 0 & -1

Passo 6

Comparando: na base canônica as matrizes de P e R ficam cheias e dependem de a, enquanto na base mathscrB viram matrizes diagonais simples. Isso mostra como escolher uma base adequada pode simplificar muito os cálculos.

Resposta

R = 2P - I; na base canônica
P=11+a^21 & a a & a^2, R=11+a^21-a^2 & 2a 2a & a^2-1
Na base mathscrB=(1,a),(-a,1)
[P]mathscrB=1 & 0 0 & 0, [R]mathscrB=1 & 0 0 & -1

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