Considere a reta
, em
e considere os operadores
de projeção ortogonal sobre
e reflexão em torno de
.
(a) Mostre que
(b) Determine as matrizes de
em relação à base canônica e em relação à base
,
.
© Compare as matrizes obtidas no ítem anterior. Isso mostra porque é bom saber lidar com outras bases além da canônica.
(a) Mostre que
(b) Determine as matrizes de
© Compare as matrizes obtidas no ítem anterior. Isso mostra porque é bom saber lidar com outras bases além da canônica.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem a reta
em
e dois operadores lineares:
é a projeção ortogonal em
e
é a reflexão em torno de
. Precisamos mostrar que
, achar as matrizes de
e
na base canônica e na base
e, por fim, comparar os resultados.
Passo 2
Para calcular
, escolhemos um vetor diretor de
, por exemplo
. O vetor unitário é
A projeção de um vetor
$$
P(v)=(v\cdot\nu),\nu
=\frac{x+ay}{1+a^2}(1,a).
=\frac{x+ay}{1+a^2}(1,a).
P=\frac{1}{1+a^2}
.
$$
Passo 3
Sabendo que reflexão se escreve sempre como
, concluímos diretamente que
Passo 4
Subtraindo a identidade da projeção duplicada obtemos a matriz de
na base canônica:
Passo 5
Na base
, ambos os vetores são autovetores:
,
;
,
. Logo as matrizes em
são diagonais:
Passo 6
Comparando: na base canônica as matrizes de
e
ficam cheias e dependem de
, enquanto na base
viram matrizes diagonais simples. Isso mostra como escolher uma base adequada pode simplificar muito os cálculos.
Resposta
R = 2P - I; na base canônica
Na base