Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:
Passo 1
Na questão, temos a aplicação linear
definida por
. O conteúdo é transformações lineares no plano, e vamos precisar de como encontrar a matriz de uma aplicação linear conhecendo suas imagens nos vetores da base canônica.
Passo 2
Para determinar a matriz de
na base canônica
, calculamos suas imagens: aplicando a definição, obtemos
Passo 3
A matriz de
em relação à base canônica é formada pelas colunas que são as coordenadas de
e
. Logo,
Passo 4
Geometricamente, essa matriz corresponde a uma rotação do plano em torno da origem de ângulo
no sentido anti-horário (para
). Ela preserva distâncias e orientações, enviando um vetor
em
.
Resposta
A matriz de
na base canônica é
e geometricamente
é a rotação do plano em torno da origem de ângulo
no sentido anti-horário.