Descreva geometricamente cada uma das transformações lineares abaixo e determine suas matrizes em relação às bases canônicas:

Passo 1

Na questão, temos a aplicação linear T: R^2 to R^2 definida por . O conteúdo é transformações lineares no plano, e vamos precisar de como encontrar a matriz de uma aplicação linear conhecendo suas imagens nos vetores da base canônica.

Passo 2

Para determinar a matriz de T na base canônica e1=(1,0),e2=(0,1), calculamos suas imagens: aplicando a definição, obtemos
T(e1)=T(1,0)=(cosalpha,sinalpha),
T(e2)=T(0,1)=(-sinalpha,cosalpha)

Passo 3

A matriz de T em relação à base canônica é formada pelas colunas que são as coordenadas de T(e1) e T(e2). Logo,
[T] extcan= cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha

Passo 4

Geometricamente, essa matriz corresponde a uma rotação do plano em torno da origem de ângulo alpha no sentido anti-horário (para alpha>0). Ela preserva distâncias e orientações, enviando um vetor (rcostheta,rsintheta) em (rcos(theta+alpha),rsin(theta+alpha)).

Resposta

A matriz de T na base canônica é
cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha
e geometricamente T é a rotação do plano em torno da origem de ângulo alpha no sentido anti-horário.

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