Suponha-se que uma força \vec{F}=2 x^{3} \hat{i}+2 y \hat{j}, com x em metros, esteja agindo sobre um determinado corpo e alterando somente sua energia cinética. Nesse caso, o trabalho realizado sobre o corpo, quando se desloca das coordenadas ( 2 \mathrm{~m}, 4 \mathrm{~m} ) para ( 8 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m} ), é de 2.040 J .

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
\vec F(x,y)=2x^{3}\,\hat\imath+2y\,\hat\jmath
e pede o trabalho realizado ao levar o ponto de A=(2,4) até B=(8,0).
O conteúdo envolvido é o cálculo de linha de um campo vetorial conservativo, usando potencial.

Passo 2

Verificamos se \vec F é conservativo checando
\frac{\partial}{\partial y}(2x^{3})=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(2y)=0.
Como são iguais, \vec F é campo conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial U(x,y) tal que
\frac{\partial U}{\partial x}=2x^{3},\quad \frac{\partial U}{\partial y}=2y.
Integrando a primeira
\frac{\partial U}{\partial x}=2x^{3}\implies U(x,y)=\int 2x^{3}\,dx=\tfrac12\,x^{4}+h(y).
Como \partial U/\partial y= h'(y) deve ser 2y, obtemos
h'(y)=2y\implies h(y)=y^{2}+C.
Podemos tomar C=0, logo
U(x,y)=\tfrac12\,x^{4}+y^{2}.

Passo 4

Para campos conservativos o trabalho é a diferença de potencial entre B e A:
W=U(B)-U(A).

Passo 5

Calculando
U(B)=U(8,0)=\tfrac12\cdot8^{4}+0^{2}=\tfrac12\cdot4096=2048,
U(A)=U(2,4)=\tfrac12\cdot2^{4}+4^{2}=8+16=24,
logo
W=2048-24=2024\\ \text{J}.

Passo 6

Portanto, o valor indicado de 2040 J está incorreto. O trabalho correto é 2024 J.

Resposta

O trabalho realizado é de 2024 J.

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