Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, exiba um contra-exemplo.
Se A B=0 então A=0 ou B=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes A e B (por exemplo em Mn(R)), a igualdade
A B = 0
implica necessariamente que A=0 ou B=0. O conteúdo é álgebra linear (anéis de matrizes) e vemos se a existência de divisores de zero proíbe essa implicação.

Passo 2

Em geral o conjunto de matrizes Mn(R), para n>=2, não é um domínio de integridade: podem existir matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero. Logo suspeitamos que a afirmativa seja falsa e basta exibir um contra-exemplo em dimensão 2.

Passo 3

Considere as matrizes
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0
Claramente A neq 0 e B neq 0.

Passo 4

Vamos calcular o produto AB:
AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot0 + 0cdot0 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 = 0 & 0 0 & 0
Portanto AB=0 mesmo com A e B não nulas.

Resposta

A afirmativa é falsa. Por exemplo, em M2(R) as matrizes
A = 1 & 00 & 0, B = 0 & 01 & 0
são não nulas e satisfazem AB=0.

Exercícios relacionados