Dados o plano pi: 2 x+y-2 z=5 e a reta r=(c1 0 -2)+t(c1 -1 0), t in R,
(a) Determine o ponto A de intersecção de pi com r.
(b) Dizemos que os pontos A e A^prime são simétricos em relação ao plano eta se eta corta o segmento A A^prime perpendicularmente no seu ponto médio. Ache o ponto A^prime, simétrico de A em relação ao plano eta: x+2 z-6=0

Passo 1

O enunciado pede primeiro a intersecção de pi:2x+y-2z=5 com a reta
r:10-2+t1-10, chamando esse ponto de A. Em seguida, pede o simétrico de A em relação ao plano eta:x+2z-6=0. Usaremos:
– Para (a) substituição do parâmetro t da reta na equação do plano.
– Para (b) a fórmula de reflexão
A' ;=; A ;-;2,vec ncdot A - d|vec n|^2,vec n
onde vec n é o vetor normal de eta e d o termo independente.

Passo 2

A reta tem equação paramétrica
x=1+t, y=-t, z=-2
Substituindo em pi:
2(1+t)+(-t)-2(-2)=5 ;Longrightarrow; 2+2t-t+4=5 ;Longrightarrow; t=-1
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A=l(1+(-1),;-(-1),;-2r)=(0,1,-2)

Passo 3

Para refletir A no plano eta:x+2z-6=0 temos
vec n=(1,0,2) e d=6. Calculamos
vec ncdot A=1cdot0+0cdot1+2cdot(-2)=-4,
|vec n|^2=1^2+0^2+2^2=5,
vec ncdot A - d = -4 - 6 = -10
Então
A' ;=; A ;-;2,-105,vec n ;=; (0,1,-2);-;2l(-2r)(1,0,2) ;=; (0,1,-2)+(4,0,8) ;=;(4,1,6)

Resposta

(a) A=(0,1,-2)
(b) A'=(4,1,6)

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