Considere as retas:
r:(x, y, z) & =(1-t, 2+5 t,-2+3 t) s: & c x=1+2 h y=12+10 h z=4+6 h
Calcule a distancias entre estas retas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em
e
Queremos a menor distância entre essas retas. Na geometria espacial, se duas retas se intersectam, essa distância é zero; se forem paralelas e distintas, usa-se distância ponto–reta; se forem interpolares (isto é, nem paralelas nem concorrentes), usa-se a fórmula
onde são pontos em e e os vetores diretores.

Passo 2

Escolhemos como ponto em r o valor t=0, dando
a=(1,2,-2), e seu vetor diretor
u=(-1,5,3).
Em s tomamos h=0, ficando
b=(1,12,4) e vetor diretor
v=(2,10,6).
Para ver se são paralelas, calculamos
utimes v = i & j & k -1 & 5 & 3 2 & 10 & 6 =(0,,12,,-20),
que é não-nulo, logo não são paralelas.

Passo 3

Verificamos se há interseção, isto é, se existem t,h tais que
1-t=1+2h, 2+5t=12+10h, -2+3t=4+6h
Da primeira equação vem t=-2h. Substituindo na segunda:
2+5(-2h)=12+10h;Longrightarrow;2-10h=12+10h;Longrightarrow;-20h=10;Longrightarrow;h=-tfrac12,
e assim t=-2l(-tfrac12r)=1. Na terceira:
-2+3cdot1=1, 4+6l(-tfrac12r)=4-3=1,
coincidem, mostrando que as retas se encontram em (0,7,1).

Passo 4

Como r e s têm um ponto em comum, a menor distância entre elas é
boxed0

Resposta

A distância entre as retas é 0.

Exercícios relacionados