Encontre uma base para os espaços linha e coluna de
, uma base para espaço solução de
, e a posto e nulidade de
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede que, para a matriz
encontremos
- Uma base para o espaço linha de
. - Uma base para o espaço coluna de
. - Uma base para o espaço solução de
(o núcleo de ). - O posto e a nulidade .
Vamos usar eliminação de Gauss para achar a forma escalonada, identificar pivôs e depois extrair as bases e dimensões.
Passo 2
Aplicando operações de linha para levar
A à forma escalonada superior, obtemos:
Passo 3
Na matriz escalonada
os pivôs aparecem nas colunas
,
e
.
Logo
Logo
Passo 4
Uma base para o espaço linha de
A é dada pelas linhas não-nulas de
U :
Passo 5
Uma base para o espaço coluna de
A é dada pelas colunas de
A que contêm pivô, ou seja as colunas
1 ,
2 e
4 :
Passo 6
Para o núcleo, escrevemos o sistema homogêneo
Escolhendo variáveis livres , obtemos
Portanto
e uma base para o espaço solução é
Resposta
Base do espaço linha:
.
Base do espaço coluna: .
Base do núcleo: .
Posto: .
Nulidade: .
Base do espaço coluna:
Base do núcleo:
Posto: .
Nulidade: .