Encontre uma base para os espaços linha e coluna de A, uma base para espaço solução de A X=0, e a posto e nulidade de A, onde A=(ccccc1 & 1 & 3 & 2 & 1 2 & 3 & 7 & 6 & 2 -2 & -2 & -6 & -3 & -3 2 & -2 & 2 & 2 & -4).

Passo 1

O enunciado pede que, para a matriz
encontremos
  1. Uma base para o espaço linha de .
  2. Uma base para o espaço coluna de .
  3. Uma base para o espaço solução de (o núcleo de ).
  4. O posto e a nulidade .
    Vamos usar eliminação de Gauss para achar a forma escalonada, identificar pivôs e depois extrair as bases e dimensões.

Passo 2

Aplicando operações de linha para levar A à forma escalonada superior, obtemos:
1 & 1 & 3 & 2 & 1 2 & 3 & 7 & 6 & 2 -2 & -2 & -6 & -3 & -3 2 & -2 & 2 & 2 & -4 xrightarrowL2>=ts L2-2L1,;L3>=ts L3+2L1,;L4>=ts L4-2L1 1 & 1 & 3 & 2 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & -4 & -4 & -2 & -6
xrightarrowL4>=ts L4+4L2 1 & 1 & 3 & 2 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 6 & -6 xrightarrowL4>=ts L4-6L3 1 & 1 & 3 & 2 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 =U

Passo 3

Na matriz escalonada os pivôs aparecem nas colunas , e .
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Passo 4

Uma base para o espaço linha de A é dada pelas linhas não-nulas de U:
l(1,1,3,2,1),;(0,1,1,2,0),;(0,0,0,1,-1)r

Passo 5

Uma base para o espaço coluna de A é dada pelas colunas de A que contêm pivô, ou seja as colunas 1, 2 e 4:
l(1,2,-2,2)^T,;(1,3,-2,-2)^T,;(2,6,-3,2)^Tr

Passo 6

Para o núcleo, escrevemos o sistema homogêneo
Escolhendo variáveis livres , obtemos
Portanto
e uma base para o espaço solução é

Resposta

Base do espaço linha: .
Base do espaço coluna: .
Base do núcleo: .
Posto: .
Nulidade: .

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