Qual a distância do ponto P(0,0,2) a reta que passa pelo ponto B(2,2,2) na direção do vetor u=(2,0,-1) ?

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(0,0,2) a uma reta em R^3 que passa por B(2,2,2) e tem direção dada pelo vetor u=(2,0,-1). O conteúdo principal aqui é geometria analítica espacial: a fórmula da distância de um ponto a uma reta em R^3.

Passo 2

A fórmula para a distância d de um ponto P à reta que passa por B com vetor diretor u é
d ;=;l|PBtimesur||u|,
onde PB = B - P.

Passo 3

Calculamos PB:
PB = (2,2,2) - (0,0,2) = (2,2,0)

Passo 4

Fazendo o produto vetorial
PBtimesu = i & j & k 2 & 2 & 0 2 & 0 & -1 = l(2cdot(-1)-0cdot0,;-l(2cdot(-1)-0cdot2r),;2cdot0-2cdot2r) = ( -2,;2,;-4 )
Então
l|PBtimesur| = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz4 + 4 + 16 = raiz24 = 2raiz6

Passo 5

Agora a norma de u é
|u| = raiz2^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 6

Substituindo na fórmula da distância, obtemos
d = 2raiz6raiz5 = 2raiz6,raiz55 = 2raiz305

Resposta

A distância é 2raiz305.

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