Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1,1,1) na direção do vetor w=(1,-1,2).
Apresente esta equação na forma simétrica

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta em R^3 que passa pelo ponto P0=(1,1,1) e tem direção dada pelo vetor vec w=(1,-1,2). O conteúdo envolvido é a representação de retas no espaço através da forma vetorial (ou paramétrica)
r = r0 + t, v
e, a partir dela, a forma simétrica
x - x0v1 = y - y0v2 = z - z0v3,
que só vale quando todos os componentes vi de v são não nulos.

Passo 2

Primeiro escrevemos a forma vetorial e as equações paramétricas. Sejam (x,y,z) as coordenadas de um ponto genérico da reta e tinR o parâmetro, então
(x,y,z) = (1,1,1) + t,(1,-1,2)
Desse modo temos as três equações
x = 1 + t
y = 1 - t
z = 1 + 2t

Passo 3

Agora isolamos t em cada equação:
x = 1 + tLongrightarrow t = x - 1,
y = 1 - tLongrightarrow t = 1 - y,
z = 1 + 2tLongrightarrow t = z - 12
Igualando essas expressões para t obtemos
x - 1 = 1 - y = z - 12
Para deixar no formato clássico x-x0v1=dots, note que 1 - y = -(y - 1). Assim chegamos à forma simétrica:

Resposta

x - 11 ;=; y - 1-1 ;=; z - 12

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