Considere as retas
& r: X=(2,0,-1)+t(2,1,1), t in R & s: X=(0,-1,-2)+t(1,1,1), t in R
Calcule o ângulo e a distância entre as retas r e s.

Passo 1

O enunciado nos dá as retas
rcolon X = (2,0,-1) + t,(2,1,1), scolon X = (0,-1,-2) + u,(1,1,1)
O conteúdo aqui é geometria analítica no R^3, envolvendo cálculo de ângulo entre retas e distância entre retas. Para o ângulo, usamos a fórmula
costheta = l|drcdotdsr||dr|;|ds|,
onde dr e ds são os vetores diretores. Para a distância, usamos
dist(r,s) = l|(Ps-Pr)cdot(drtimesds)r| |drtimesds|,
em que Pr e Ps são pontos quaisquer em r e s.

Passo 2

Os vetores diretores são
dr=(2,1,1), ds=(1,1,1)
Calculamos o produto escalar e as normas:
drcdotds = 2cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1 = 4,
|dr| = raiz2^2+1^2+1^2 = raiz6, |ds| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3
Logo
costheta = 4raiz6,raiz3 = 4raiz18 = 2raiz23,
e portanto
theta = arccos!l(2raiz23r)

Passo 3

Para a distância, escolhemos
Pr=(2,0,-1), Ps=(0,-1,-2) e definimos
w = Ps - Pr = (-2,-1,-1)
O produto vetorial dos diretores é
drtimesds = (2,1,1)times(1,1,1) = (0,-1,1),
com norma
|drtimesds| = raiz0^2+(-1)^2+1^2 = raiz2
Então
(Ps-Pr)cdot(drtimesds) = (-2,-1,-1)cdot(0,-1,1) = 0,
e finalmente
dist(r,s) = |0|raiz2 = 0,
o que mostra que as retas se intersectam.

Resposta

theta = arccos!l(2raiz23r)
dist(r,s) = 0

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