Mostre que a reta
& x=0 & y=t & z=t t in R
é perpendicular ao plano y+z=0.

Passo 1

O enunciado dá a reta em forma paramétrica
x=0, y=t, z=t, tinR
e o plano
y+z=0
Para mostrar que a reta é perpendicular ao plano, precisamos ver que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano e que a reta intersecta o plano.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor da reta observando como variam (x,y,z) em função de t. Como x é constante e y e z variam ambos como t, o vetor diretor é
v = (0,1,1)

Passo 3

O plano y+z=0 pode ser escrito na forma geral
0cdot x + 1cdot y + 1cdot z = 0,
logo seu vetor normal é
n = (0,1,1)

Passo 4

Vemos que v = n, ou seja, o vetor diretor da reta é exatamente o vetor normal ao plano. Isso implica que a reta é ortogonal ao plano, desde que se intersectem.

Passo 5

Para verificar a interseção, substituímos (x,y,z)=(0,t,t) em y+z=0, obtendo
t + t = 0 Longrightarrow t=0
Assim a reta atravessa o plano no ponto (0,0,0).

Resposta

A reta é perpendicular ao plano y+z=0 porque seu vetor diretor (0,1,1) coincide com o vetor normal do plano, e ela intersecta o plano no ponto (0,0,0).

Exercícios relacionados