Considere as retas
r:(x, y, z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1) s:(x, y, z)=(1,3,7)+s(-2,0,1)
Determine a equação da reta perpendicular e concorrente com r e com s.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço
r: (x,y,z)=(-1,-1,4)+t,(1,1,-1), s: (x,y,z)=(1,3,7)+s,(-2,0,1)
e pede a reta que seja perpendicular a ambas e que intersecte cada uma (ou seja, a comum perpendicular entre essas retas). Para resolver isso precisamos (i) verificar que elas são reversas (não se cruzam), (ii) achar o vetor direção da comum perpendicular e (iii) determinar os pontos de interseção com cada reta.

Passo 2

Verificamos se r e s se intersectam resolvendo
(-1,-1,4)+t(1,1,-1) ;=;(1,3,7)+s(-2,0,1)
Das componentes x e y achamos t=4 e s=-1, mas na componente z isso não se satisfaz. Logo as retas são reversas (skew) e existe exatamente uma reta comum perpendicular a elas.

Passo 3

O vetor direção da reta comum perpendicular deve ser ortogonal a ambos os vetores-direção
u=(1,1,-1) e v=(-2,0,1). Então usamos o produto vetorial:
w = u times v = i & j & k 1 & 1 & -1 -2 & 0 & 1 = (1,1,2)

Passo 4

Seja Pin r dado por P=A+t u com A=(-1,-1,4) e Qin s dado por Q=B+s v com B=(1,3,7). O segmento PQ deve ser paralelo a w e perpendicular a u, v. Basta impor
PQcdot u =0, PQcdot v =0,
onde PQ=(B-A)+s, v - t, u.

Passo 5

Calculamos
B-A=(2,4,3), ucdot u=3, vcdot v=5, ucdot v=-3, (B-A)cdot u=3, (B-A)cdot v=-1
As condições viram o sistema
3 -3s -3t =0, -1 +5s +3t =0
que leva a
s=-1, t=2
Então
P =(-1,-1,4)+2(1,1,-1)=(1,1,2), Q =(1,3,7)-1(-2,0,1)=(3,3,6)

Passo 6

A reta comum perpendicular passa por P=(1,1,2) e tem vetor-direção w=(1,1,2). Logo sua equação paramétrica é
(x,y,z) = (1,1,2)+lambda,(1,1,2)

Resposta

boxed(x,y,z)=(1,1,2)+lambda,(1,1,2)

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